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(a) Es seien \( \lambda \in \mathbb{R}_{\geq 0} \) und \( t \in[0,1] \). Zeigen Sie, dass
$$ \left(1+\frac{t \lambda}{n}\right)^{n}-t\left(1+\frac{\lambda}{n}\right)^{n} \leq 1-t $$
für alle \( n \in \mathbb{Z}_{\geq 1} \) gilt. Schließen Sie daraus, dass
$$ e^{t \lambda}-t e^{\lambda} \leq 1-t $$
gilt.
(b) Es seien \( \lambda_{1}, \lambda_{2} \in \mathbb{R} \) und \( t_{1}, t_{2} \in[0,1] \) mit \( t_{1}+t_{2}=1 \). Zeigen Sie, dass
$$ e^{t_{1} \lambda_{1}+t_{2} \lambda_{2}} \leq t_{1} e^{\lambda_{1}}+t_{2} e^{\lambda_{2}} $$
gilt.
(c) Es seien \( \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n} \in \mathbb{R} \) und \( t_{1}, t_{2}, \ldots, t_{n} \in[0,1] \) mit \( t_{1}+t_{2}+\ldots+t_{n}=1 \). Zeigen Sie,
dass
$$ e^{t_{1} \lambda_{1}+t_{2} \lambda_{2}+\ldots+t_{n} \lambda_{n}} \leq t_{1} e^{\lambda_{1}}+t_{2} e^{\lambda_{2}}+\ldots+t_{n} e^{\lambda_{n}} $$
gilt. Schließen Sie daraus, dass
$$ \sqrt[n]{z_{1} \cdot z_{2} \ldots z_{n}} \leq \frac{z_{1}+z_{2}+\ldots+z_{n}}{n} $$
für \( z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n} \in \mathbb{R}_{>0} \) gilt.
Wäre korrekt wenn mir jemand helfen könnte :/
