Beweise für Ungleichungen: 2^n>n^3 für n>10. Wie kommt man Von III auf IV?

Question

Beweis:

2^n>n^3 für n>10

IA: 2^10=1024>1000        w.A.

IS: 2*2^n=2^{n+1}<2*n^3

(I)    2*n^3=

(II)   n^3+n^3=

(III)  n^3+(n-1)*n^2+(n-1)*n+n=

(IV)  n^3+3n^2+3n+1=

(V)  (n+1)^3     w.A.

Kann mir bei diesem Beweis vielleicht jemand erklären wie man von Zeile (III) auf Zeile (IV) kommt?

Danke im Vorhinein!

Answer 1

es wurde nach unten abgeschätzt:

iii) n^3+(n-1)*n^2+(n-1)*(n)+n>

iv) n^3+3*n^2+3*n+1

, da (n-1)>3 ist und n>1, für n>10