Zeigen Sie: Der Extrempunkt liegt auf der x-Achse.

Question

Aufgabe:

K ist das Schaubild der Funktion f mit f(x) = -2e^0,5x + x + 2

Problem/Ansatz:

a) Zeigen Sie: Der Extrempunkt liegt auf der x-Achse. Begründen Sie, warum K keinen Wendepunkt besitzt.

b) Zeigen Sie: Es gibt keine Tangente an K, die parallel zur 1. Winkelhalbierenden verläuft.

c) Untersuchen Sie die gegenseitige Lage von K und der Geraden g mit y = (1 - e) x +2.

Begründen Sie Ihr Ergebnis rechnerisch.

Answer 1

a) f ' (x) = 1 - e^(0,5x)  = 0 <=>  x=0 .  Und f ' ' (0) =-0,5

Also ist der Extrempunkt ein Hochpunkt mit den Koordinaten

H(0;0), liegt also auf der x-Achse. Da f ' ' (x) nie 0 ist,

gibt es keine Wendepunkte.

b) Wäre bei x eine Tangente mit der Steigung 1 , müsste

gelten f ' (x) = 1 <=>   1 - e^(0,5x)  = 1  . Dies gilt

für kein x, da die e-Funktion keine Nullstellen hat.

c) Die schneiden sich 2-mal.

Comments

Das mit der c habe ich nicht verstanden. Kannst du es mir mal rechnerisch zeigen?

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-2e^0,5x + x + 2= (1 - e) x = x - ex

-2e0,5x  + 2  +ex  = 0

Betrachte g(x)=-2e^(0,5x)  + 2  +ex = 0

==>   eine Lösung ist sicher x=0 

Bei x=2 ist es -2*e + 2 + e*2 = 2 > 0

Bei x= 4 ist es -2*e^2 + 2 + 4e < -14 + 2 + 4e

                                                = -12 + 4e

                                                < -12 + 4*2.9 = -0,4

also jedenfalls bei x=4 ist es negativ.

Da g eine stetige Funktion ist, die bei x=2 positiv und bei x=4

negativ ist, hat sie dazwischen noch eine Nullstelle.