Hallo Michi,
Willkommen in der Mathelounge!
Ich habe zumindest einen Ansatz für Deine Aufgabe. Es sei \(F(t)\) die Stammfunktion von \(e^{-t^2}\). Dann ist$$f(x) = \int_0^x e^{-t^2}\,\text dt = \left. F(t) \right|_0^x = F(x) - F(0)$$Daraus folgt \(f(0)=0\) ist und die 1.Ableitung ist$$f'(x) = F'(x) - 0 = e^{-x^2}$$weitere Ableitungen sind$$\begin{aligned} f(x) &= \int_0^x e^{-t^2} \,\text dt \\ f'(x) &= e^{-x^2} \\ f''(x) &= -2x e^{-x^2} \\ f'''(x) &= \left( -2 + 4x^2 \right) e^{-x^2} \\ f^\text{iv}(x) &= (12x - 8x^3)e^{-x^2} \\ f^{\text v}(x) &= (12 - 48x^2 + 16x^4)e^{-x^2} \\ f^{\text{vi}}(x) &= (-120 + 720x^2 - 480x^4 + 64x^6)e^{-x^2} \\ \end{aligned}\\$$Wenn wir die Taylorreihe um \(x=0\) aufstellen, so ist nur der Koeffizient innerhalb des Polynoms ohne \(x\) entscheinend. Um den heraus zu bekommen, betrachte ich allgemein die \(n\)'te Ableitung$$f^n(x) = p_n(x) e^{-x^2}, \quad p_n(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i$$ \(p_n(x)\) ist ein Polynom mit den Koeffizienten \(a_i\). Das einmal Ableiten gibt$$f^{n+1}(x) = \left( p_n'(x) - 2x p_n(x)\right)e^{-x^2}$$Für die Koeffizienten gilt dann$$\begin{aligned}a_{0,n+1} &= a_{1,n} \\ a_{i,n+1} &= (i+1)a_{i+1,n} - 2 a_{i-1,n} \quad i \gt 0\end{aligned}$$Dazu habe ich mal eine Tabelle erstellt $$\begin{array}{c|rrrrrr}n& a_0& a_1& a_2& a_3& a_4& a_5\\ \hline 1& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 2& 0& -2& 0& 0& 0& 0\\ 3& -2& 0& 4& 0& 0& 0\\ 4& 0& 12& 0& -8& 0& 0\\ 5& 12& 0& -48& 0& 16& 0\\ 6& 0& -120& 0& 160& 0& -32\\ 7& -120& 0& 720& 0& -480& 0\\ 8& 0& 1680& 0& -3360& 0& 1344\\ 9& 1680& 0& -13440& 0& 13440& 0\\ 10& 0& -30240& 0& 80640& 0& -48384\\ 11& -30240& 0& 302400& 0& -403200& 0\\ 12& 0& 665280& 0& -2217600& 0& 1774080\\ 13& 665280& 0& -7983360& 0& 13305600& 0\end{array}$$Interessant sind ja nur die \(a_{0,n}\), also die erste Spalte in obiger Tabelle. Leider hängen die von den weiteren Koeffizienten der Vorgänger ab. Ich gehe aber davon aus, dass die Koeffizienten \(a_{0,n}\), die nicht \(=0\) sind, sich wie folgt entwickeln$$ a_{0,0} = 1 \\ a_{0,k} = 2a_{0,k-1}(2k-1), \quad n=2k+1$$Somit wäre die Potenzreihenentwicklung$$f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{a_{0,k}}{n!}x^n = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\frac{a_{0,k}}{(2k+1)!} x^{2k+1}$$... vielleicht fällt mir noch eine geschlossene Form für \(a_{0,k}\) ein. Noch ein Plot, der die Teilfunktionen bis \(x^9\) zeigt:
~plot~ x-x^3/3;x-x^3/3+x^5/10;x-x^3/3+x^5/10-x^7/42;x-x^3/3+x^5/10-x^7/42+x^9/216;[[-2|2.5|-1|2]]; ~plot~
Gruß Werner
