Jedem Paar (a,b) wird durch die Abbildung ein Polynom höchstens
1. Grades zugeordnet. Mach dir vielleicht erst mal ein paar Beispiele
f( 2;3) = p(x) mit p(x) = -4 + 3x oder
f( 1;3) = p(x) mit p(x) = -5 + 3x oder
f( 2;0) = p(x) mit p(x) = 2 + 0x = 2 also konstantes Polynom Grad=0.
und jetzt prüfe mal wie es allgemein aussieht, wenn du 2 Paare (a,b) und (c,d)
hast, dann ist ja (a,b)+(c,d) = ( a+c , b+d)
und jetzt zeige f(a,b)+f(c,d)
ist das gleiche polynom wie f( a+c , b+d).
Entsprechend f( z*(a,b) ) = z*f(a,b) für irgendein z∈ℝ.
Wenn du beides gezeigt hast, ist klar:
f ist ein Homomorphismus.
bijektiv ist es auch, denn wenn f(a,b)= f(c,d) gilt,
also diese beiden Polynome gleich sind, dann geht das nur,
wenn a=c und b=d , also auch die Paare gleich.
Zeigst du durch Koeffizientenvergleich der Polynome.
und surjektiv: Denke dir irgendein Polynom p(x) = u + v*x
und versuche zu zeigen, dass es ein Paar (a,b) gibt,
mit f(a,b) = p(x) . Das machst du, indem du zeigst, welche
a und b man nehmen muss, damit das passt.
