Aus Isomorphismus einer Körpererweiterung folgt..

Question

Aufgabe:

Es gibt einen Isomorphismus ω: ℚ(√m) -> ℚ(√n). Dann muss der Bruch m/n ein Quadrat in ℚ sein, mit m,n ∈ℚ*.

Problem/Ansatz:

Mein Problem hierbei wäre eher, wann m/n ein Bruch mit den oben genannten Voraussetzungen ist. Gilt hierbei auch, dass m,n quadratfrei und gleich (m=n) sein dürfen? Mir erscheint der Bruch m/n mit m,n∈ℚ irgendwie falsch.

(Ich möchte keine vollständige Lösung, lediglich einen Denkanstoß für mein oben genanntes Problem)

Answer 1

Ich verstehe das so:   Zum Bruch m/n gibt es eine rationale Wurzel, also einen

anderen Bruch a/b mit   (a/b)^2 = m/n.

Wenn es so einen Isomorphismus gibt, dann sind entweder sowohl m

als auch n Quadrate, ( also ℚ(√m) = ℚ(√n) = ℚ  ) also die

Wurzeln selber rational.  oder beide Wurzeln sind irrational.

Dass dann aber deren Quotient rational ist, ist wohl zu beweisen.

Comments

Jetzt stehe ich auf dem Schlauch. Dann war meine Überlegung oben ja komplett falsch. Wie beweise ich, dass der Quotient rational ist? Ist das nicht zu trivial?

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Wie gesagt: "Ich versteh das so."

Eine echte Lösung ist mir auch nicht eingefallen.

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Beweise   ω(q) = q  für q∈ℚ und  folgere dann aus  ω(a+b√m) = ω(a)+bω(√m) = a + c√n etwas über ω(√m), schließe dann die Behauptung aus  m = ω(m) = ω((√m)^2) = (ω(√m))^2