Anfangswertaufgabe eindeutig lösbar

Question

Aufgabe:

Warum ist die Anfangswertaufgabe:

$$ y^{\prime}=x^{2}+y^{2}+10, y\left(x_{0}\right)=y_{0} $$

für alle

$$ x_{0}, y_{0} \in \mathbb{R} $$

eindeutig lösbar?

Problem/Ansatz:

Kann man hier f(x,y) betrachten und die y-Ableitung und x-Ableitung bilden und das ganze so begründen?

Comments

Ihr habt doch wahrscheinlich nur einen einzigen Satz, der die eindeutige Lösbarkeit eines Anfangswertproblems garantiert. Den musst Du anwenden. Dafür brauchst Du (je nach Formulierung) allenfalls die Ableitung von \(f(x,y)=x^2+y^2+10\) nach y

Gruß

---

Mit dem Satz von Picard-Lindelöf habe ich die partielle Ableitung nach y gebildet, die Ableitung ist stetig und somit ist die Lipschitzbedingung erfüllt.

Wäre das schon die Lösung der Aufgabe?

---

Ja, wenn nicht mehr gefragt war.

Gruß

---

Danke dir für deine Hilfe! Ich war bloß etwas verwirrt weil mir das zu einfach erschien.

---

Man kann sich das jedenfalls anschaulich sehr plausibel machen. In jedem Punkt der x-y-Ebene liefert der Ausdruck  x² + y² + 10  einen definierten positiven Wert  y'  (mit y'≥10).  Das damit definierte Richtungsfeld ist auf ganz  ℝ²  durchwegs stetig (und differenzierbar). Von jedem beliebigen Punkt P₀ (x₀,y₀) aus beginnend ergibt sich daraus eine eindeutig bestimmte (sehr steil ansteigende) Lösungskurve, welche sowohl in x-Richtung als auch in y-Richtung insgesamt den gesamten reellen Bereich "füllt".