Entscheiden Sie ob folgende Folgen konvergieren. Berechnen Sie den Grenzwert, falls er existiert.

Question

Entscheiden Sie, ob die folgenden Folgen konvergieren. Berechnen Sie den Grenzwert, falls er exisitert.

1.) C_n=(n!)/(2ⁿ)

2.)  (1-(1/n))²ⁿ

3.) \( d_{n}=\sum \limits_{v=1}^{n} \frac{1}{2^{v}} \)

Answer 1

1) Die Folge konvergiert nicht, da die Fakultät im Zähler viel schneller wächst als die Funktion im Nenner.

Ein grobe Abschätzung nach unten plus Minorantenkriterium reicht, wie z.B. ab n=7 : $$\frac{n!}{2^{n}}\gt \frac{3^{n}}{2^{n}} = (\frac{3}{2})^{n} \rightarrow \infty$$

2) $$(1-\frac{1}{n})^{2n} = \frac{1}{(1+\frac{1}{n-1})^{2n}} =( \frac{1}{(1+\frac{1}{n-1})^{n-1} {(1+\frac{1}{n-1})^{}}})^{2} \rightarrow \frac{1}{e^{2}}$$ für n → ∞

3) Dies ist eine geometrische Reihe mit dem ersten Glied 1\2. Mit der Summenformel ergibt sich

d_n = 1 - 1/2ⁿ

somit konvergiert die Folge gegen 1.