Zeigen Sie, dass <,> eine Bilinearform ist.

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper und V = K³. Sei {a1; a2; a3} eine Basis von V . Betrachten Sie die Abbildung
<,> : V x V → K : (k₁a₁ + k₂a₂ + k₃a₃, l₁a₁ + l₂a₂ + l₃a₃) ↦ k₁l₁ + 2k₂l₃.

Zeigen Sie, dass <,> eine Bilinearform ist. Bestimmen Sie a1 orthogonal
und V orthogonal.

Problem/Ansatz:

Ich weiß was man im Grundsatz beweisen muss nämlich

<v+v´,w> = <v,w>+<v´,w> und das gleiche mit w

<kv,w>= k <v,w> und das gleiche mit v

Jedoch bin ich mir unsicher wie ich bei dieser Abbildung voran gehen soll.

Dankeschön

Answer 1

Die k's und l's sind die Koordinaten zweier Vektoren bzgl. der gegebenen Basis.

Das schreibt man oft auch dann so:

\( v=\begin{pmatrix} k_1\\k_2\\k_3 \end{pmatrix}   und    v'=\begin{pmatrix} l_1\\l_2\\l_3 \end{pmatrix} \)

Damit kannst du die Abbildung auch so schreiben

<,> : V x V → K :\( <\begin{pmatrix} k_1\\k_2\\k_3 \end{pmatrix}  ,\begin{pmatrix} l_1\\l_2\\l_3 \end{pmatrix}>=k_1l_1 + 2k_2l_3 \)

Dann ist es etwas übersichtlicher und die erste Eigenschaft <v+v´,w> = <v,w>+<v´,w>

zeigst du so:  Seien \( v=\begin{pmatrix} k_1\\k_2\\k_3 \end{pmatrix}  und   v'=\begin{pmatrix} l_1\\l_2\\l_3 \end{pmatrix} und     w= \begin{pmatrix} j_1\\j_2\\j_3 \end{pmatrix} \)

==>  \( <\begin{pmatrix} k_1\\k_2\\k_3 \end{pmatrix}  +   \begin{pmatrix} l_1\\l_2\\l_3 \end{pmatrix} ,    \begin{pmatrix} j_1\\j_2\\j_3 \end{pmatrix}  > \)

\( = <\begin{pmatrix} k_1+l_1\\k_2+l_2\\k_3+l_3 \end{pmatrix}  ,   \begin{pmatrix} j_1\\j_2\\j_3 \end{pmatrix}  > \)   \(  =(k_1+l_1)\cdot j_1  + 2(k_2+l_2)\cdot j_3 \)

\(  =k_1 \cdot j_1 + l_1 \cdot j_1 + 2k_2 \cdot j_3 + 2l_2\cdot j_3 \)

\(  =k_1 \cdot j_1  + 2k_2 \cdot j_3 + l_1 \cdot j_1 + 2l_2\cdot j_3 \)

$$=<\begin{pmatrix} k_1\\k_2\\k_3 \end{pmatrix} ,   \begin{pmatrix} j_1\\j_2\\j_3 \end{pmatrix}  >  +  < \begin{pmatrix} l_1\\l_2\\l_3 \end{pmatrix}  ,   \begin{pmatrix} j_1\\j_2\\j_3 \end{pmatrix}  >$$

etc.

Comments

Vielen Dank für die Antwort!

---

Und wie bestimmt man dann a1 orthogonal und V orthogonal?

---

Hallo

v orthogonal w  musst du einfach <v,w>=0 a1 orthogonal soll wahrscheinlich v= (k1,0,0) sein, da du im 3d bist gibt es keine eindeutige Normale , aber eben wie v orthogonal. es muss also k1 +0*l3=0 sein.

Gruß lul

---

Also a1 ist ja der erste Basisvektor. Alles was dazu orthogonal ist könnte

man ja so berechnen:

\( <\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}  ,\begin{pmatrix} l_1\\l_2\\l_3 \end{pmatrix}>= 0 \)

Also 1*l₁ + 2*0*l₃ = 0   <=>   l₁ = 0  und l₂,l₃ beliebig.

Und V^T wären alle, die zu allen v∈V orthogonal sind.

Es muss also für alle v1,v2,v3 gelten v₁l₁ + 2v₂l₃ = 0

mit v1=0 und v2=1 folgt also l3=0

und umgekehrt v1=1und v2=0 folgt also l1=0.

Aber l₂ kann beliebig sein.

Somit ist V^⊥= { \( \begin{pmatrix} 0\\t\\0 \end{pmatrix} | t∈ℝ \) }