Der Aufgabentext ist ja auch etwas durcheinandergeraten, aber
jetzt wird es mir langsam klarer.
Es geht um die Potenzreihe (Du hast das x^n irgendwie verloren. )
$$\sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k}\cdot x^k$$
Mit dem Quotientenkriterium erhältst du als Grenzwert von
\( |\frac{a_n}{a_{n+1}}| \) den Grenzwert 1. Das ist also der Konvergenzradius.
Wenn du die Potenzreihe gliedweise differenzierst bekommst du
$$\sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k}\cdot k \cdot x^{k-1} $$
$$ =\sum \limits_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \cdot x^{k-1} =\sum \limits_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} \cdot x^{k-1} =\sum \limits_{k=1}^{\infty} (-x)^{k-1} $$
$$ =\sum \limits_{k=0}^{\infty} (-x)^{k} $$
Das ist die unendliche geometrische Reihe mit Quotient -x , die ergibt
nach der Formel \( \frac{1}{1-q}\) hier also \( \frac{1}{1+x}\).
Also ist die Ableitung der durch die ursprüngliche Potenzreihe
dargestellten Funktion \( f ' (x) = \frac{1}{1+x}\).
Die Funktion selber ist also eine Stammfunktion davon , somit gilt
f(x) = ln ( | x+1| ) + c mit einem c ∈ ℝ.
Für x = 0 liefert die ursprüngliche Potenzreihe den Wert 0, also gilt
ln ( | 0+1| ) + c = 0 ==> c=0 .
Und wenn man in die Potenzreihe x=1 einsetzt, hat man ja
$$\sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k}\cdot 1^k=\sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k}$$
Das ist die sog. alternierende harmonische Reihe, die hat also den gleichen
Wert wie f(1) = ln ( | 1+1| ) = ln(2).
