Bestimme den Konvergenzradius r von

Question

Aufgabe:

Bestimme den Konvergenzradius r∈ℝ

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{(k!)^2}{(2k)!}} \) (x + 1)^k

^{Leider weiß ich gar nicht, was ich hier machen soll.. Wie löse ich das am besten?}

Answer 1

Aloha :)

Der Konvergenzradius \(r\) ist der Grenzwert von:

$$\left|\frac{a_{k}}{a_{k+1}}\right|=\left|\frac{(k!)^2}{(2k)!}\cdot\frac{(2(k+1))!}{((k+1)!)^2}\right|=\frac{(k!)^2}{((k+1)!)^2}\cdot\frac{(2k+2)!}{(2k)!}$$$$\phantom{\left|\frac{a_{k}}{a_{k+1}}\right|}=\frac{k!}{(k+1)!}\cdot\frac{k!}{(k+1)!}\cdot\frac{(2k)!\cdot(2k+1)\cdot(2k+2)}{(2k)!}$$$$\phantom{\left|\frac{a_{k}}{a_{k+1}}\right|}=\frac{1}{k+1}\cdot\frac{1}{k+1}\cdot\frac{(2k+1)\cdot(2k+2)}{1}$$$$\phantom{\left|\frac{a_{k}}{a_{k+1}}\right|}=\frac{4k^2+6k+2}{k^2+2k+1}=\frac{4+\frac{6}{k}+\frac{2}{k^2}}{1+\frac{2}{k}+\frac{1}{k^2}}\to4$$

Der Konvergenzradius ist also \(r=4\). Das heißt, die Reihe konvergiert für:$$|x+1|<4\implies-4<x+1<4\implies-5<x<3\implies x\in(-5;3)$$

Comments

Danke für die schnelle Hilfe :))