Ebenen/Geraden berechnen/aufstellen

Question

Aufgabe:

2.) Stellen Sie die Gerade, die durch die Punkte A, B ∈ R ³ verläuft, in der Parameter - und
Koordinatenform dar.
a) A = (3,-2,5) B = (4,0,-2) b) A = ( 1,3,-4), B = (0,0,-4)
3.) Gegeben seien die Punkte P1 = (1;2;4), P2 = ( 3;2;6), und P3 = (-2;-4;9) im R³.
a) Wie lautet die Gleichung der Ebene, in der diese drei Punkte liegen?
b) Welche Zahlenwerte müssen die fehlenden Koordinaten besitzen, wenn auch die Punkte
P6 = (3;-4; z₆) und P7 = (x₇;5;0) in der Ebene liegen sollen ?
c) Wie lautet die Ebenengleichung wenn man von den Punkten P2, P6 und P7 ausgeht?

Problem/Mein Ansatz:

a) $$\begin{pmatrix} 1\\2\\4 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} 3-1\\2-2\\6-1 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} -2-1\\-4-2\\9-4 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 1\\2\\4 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} 2\\0\\5 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} -3\\-6\\5 \end{pmatrix}$$

b)$$\begin{pmatrix} x_{7}-3\\5-(-4)\\0-z_{6} \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} x_{7}-3\\9\\z_{6} \end{pmatrix}$$

c) (3|2|6)+r*(3-3|-4-2|z₆-6)+s*(x7-3|5-2|0-6)

=> (3|2|6)+r*(0|-6|z6-6)+s*(x7-3|3|-6)

Answer 1

a) Noch sind das ja keine "Gleichungen", da fehlt der Anfang:

$$ \vec{x} = \begin{pmatrix} 1\\2\\4 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} 3-1\\2-2\\6-1 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} -2-1\\-4-2\\9-4 \end{pmatrix}$$

$$ \vec{x} = \begin{pmatrix} 1\\2\\4 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} 2\\0\\5 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} -3\\-6\\5 \end{pmatrix}$$

b ) Und hier musst du die Werte ausrechnen:

$$ \begin{pmatrix} 3\\-4\\z_6 \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} 1\\2\\4 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} 2\\0\\5 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} -3\\-6\\5 \end{pmatrix}$$

Das gibt 3 Gleichungen

3 = 1 + 2r - 3s
-4 = 2       -6s    ==>   s=1 
z₆=4 + 5r + 5s

mit s=1 in die erste Gleichung gibt r=2,5 und damit in die dritte

gibt dann z₆ = 21,5

In der Art bestimmst du auch x7.

Comments

und c? hab auch ein Ansatz dazu versucht. :)

---

Ich vermute, dass man bei c) die Ergebnisse von b) verwenden soll.

---

Ist mein Ansatz also richtig, nur, dass ich die Werte eintragen muss?

---

Worauf bezieht sich diese Aufgabe(welche Gleichung)?

d) Welche Gleichung erhält man, wenn man die Parameter λ und μ eliminiert?

---

Worauf bezieht sich diese Aufgabe(welche Gleichung)?

Vermutlich auf die Parameterform:$$E: \quad \vec x = \begin{pmatrix}1\\ 2\\ 4\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}2\\ 0\\ {\colorbox{yellow}{2}}\end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix}-3\\ -6\\ 5\end{pmatrix}$$Bem.: wenn der Punkt \(P1(1|2|4)\) und \(P2(3|2|6)\) ist,

dann muss es \(6 - {\colorbox{red}{4}}={\colorbox{yellow}{2}}\) heißen.

d) Welche Gleichung erhält man, wenn man die Parameter λ und μ eliminiert?

$$\implies \mu = \frac{2-y}{6}, \quad \lambda = \frac{x-1+3\frac{2-y}{6}}{2}$$Einsetzen in die dritte Zeile gibt$$-3x+4y+3z = 17$$das ist die Koordinatenform der Ebene.

---

Nachtrag: die Koordinatenform würde sich nicht ändern, wenn Du sie aus den Punkten \(P_2\), \(P_6\) und \(P_7\) berechnest!

---

Die Lösung für \(z_6\) und \(x_7\) aus b) ist$$z_6 = 14, \quad x_7 = 1$$ siehe Bild:

---

Also hatte ich c richtig? bloß, dass ich die Werte nur noch entsprechend einsetzen muss?

Ich verstehe leider nicht ganz genau, wie du bei d) vorgegangen bist.

---

Was mach ich da falsch?

$$z = 7+2*\frac{x-1+\frac{3(2-y)}{6}}{2}+5*\frac{2-y}{6}$$
$$z = 7+x-1+\frac{3(2-y)}{6}+\frac{5*(2-y)}{6}$$
$$z = 6+x+\frac{3(2-y)}{6}+\frac{5*(2-y)}{6} |*6 $$
$$6z = 36 + 6x + 3*(2-y)+ 5*(2-y)$$
$$6z = 36 + 6x + 6 - 3y + 10 -5y$$
$$6z = 52 + 6x - 3y - 5y$$
$$6z = 52 + 6x -8y$$
$$-6x + 8y + 6z = 52$$

---

Was mach ich da falsch?

das was die meisten falsch machen, wenn sie was falsch machen. Du hast falsch abgeschrieben:$$\begin{aligned}z &= {\colorbox{yellow}{4}}+2\cdot\frac{x-1+\frac{3(2-y)}{6}}{2}+5\cdot\frac{2-y}{6} &&|\,\cdot 6 \\ 6z &= 24 + 6x-6+6 - 3y + 10 - 5y \\ 6z &= 34 +6x - 8y &&|\, \div 2 \\ 3z &= 17 + 3x - 4y\end{aligned}$$\(\implies -3x + 4y +3z = 17\)

Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

---

Warum hast du das nicht über die Normalform gemacht und dann durch die Normalform und den Punkt die 17 (d) berechnet.

Auch, wenn ich deinen Ansatz auch sehr hilfreich finde :)

---

Warum hast du das nicht über die Normalform gemacht und dann durch die Normalform und den Punkt die 17 (d) berechnet.

Die Koordinatenform IST die Normalform. Nur in einer anderen Schreibweise. Und üblicherweise hätte ich den Normalenvektor auch über das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren berechnet.

Aber es war gefragt:

d) Welche Gleichung erhält man, wenn man die Parameter λ und μ eliminiert?

Also habe ich gezeigt, wie man die Parameter eliminiert. Und das Resultat ist die Koordinatenform, die, wenn man sie etwas anders hinschreibt, so aussieht:$$E: \quad \begin{pmatrix}-3\\ 4\\ 3\end{pmatrix} \vec x = 17$$

---

Ich meinte, dass man den Normalvektor auch über das Kreuzprodukt rauskriegen kann, auch, wenn deine Möglichkeit gut ist :)

---

Und wie kann man die Koordinatendarstellung aus d) auf anderem Wege erlangen?

---

Und wie kann man die Koordinatendarstellung aus d) auf anderem Wege erlangen?

Ich kenne nur die beiden die Du erwähnst und ich gezeigt habe, vielleicht noch raten?