Beweis Uneigentliche Integrale und Funktionenfolgen

Question

Aufgabe:

Beweisen oder widerlegen Sie, dass für eine gleichmäßig konvergente Funktionenfolge $$ f_n\to f $$ mit f_n, f uneigentlich integrierbar auf [0,unendlich], gilt, dass

$$ \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\infty} f_n(x)dx = \int_{0}^{\infty} f(x)dx $$

Hinweis: Betrachten Sie

$$ f_n = \frac{e^{-\frac{x}{n}}}{n} $$

:)

Comments

Woher hast du diese Aufgaben? Warum lieferst du keine eigenen Ideen?

Answer 1

hallo

benutze die glm Konvergenz , was weisst du dann von  fn-f

Gruß lul

Comments

Dass $$ \lim_{n \to \infty}(sup|f_n-f|)=0 $$

Beziehungsweise bezogen auf die Funktion im Hinweis ist ja f=0 und somit:

$$\lim_{n \to \infty}(sup|f_n-f|)=\lim_{n \to \infty}(f_n)=0$$

Es müsste ja dann eigentlich nach der Behauptung gelten:

$$\lim_{n \to \infty}(\int_{0}^{\infty}(f_n(x)-f(x))dx)=0$$

Und das könnte man dann zu einem Widerspruch führen? Wäre das soweit richtig?:D

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in der Aufgabe ist f(x)=0 nicht vorausgesetzt,  fn=0 ist nur für das Beispiel.

Gruß lul