Aloha :)
Die Rekursionsvorschrift schreiben wir mit Hilfe der 2-ten binomischen Formel etwas um:$$a_{n+1}=2a_n-a_n^2=1-(a_n-1)^2\quad;\quad a_0\in(0|1)$$
1) Beschränktheit
Wir zeigen durch Induktion, dass \(a_n\in(0|1)\) für alle \(n\in\mathbb N_0\). Der Induktionsanfang ist mit \(a_0\in(0|1)\) klar. Der Induktionsschritt ist dann:$$a_n\in(0|1)\implies a_n-1\in(-1|0)\implies(a_n-1)^2\in(0|1)\implies$$$$-(a_n-1)^2\in(-1|0)\implies1-(a_n-1)^2\in(0|1)\implies a_{n+1}\in(0|1)\quad\checkmark$$
2) Monotnie
Wir zeigen, dass die Folge streng monoton wächst:
$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2a_n-a_n^2}{a_n}=2-a_n\stackrel{a_n\in(0|1)}{>}1\implies a_{n+1}>a_n\quad\checkmark$$
3) Grenzwert
Jede beschränkte monotone Folge konvergiert. Wir bestimmen den Grenzwert:$$\left.a_{n+1}=2a_n-a_n^2\quad\right|\lim\limits_{n\to\infty}(\cdots)$$$$\left.\lim\limits_{n\to\infty} a_{n+1}=2\lim\limits_{n\to\infty}a_n-\left(\lim\limits_{n\to\infty}a_n\right)^2\quad\right|\text{Sei \(a\coloneqq\lim\limits_{n\to\infty} a_n=\lim\limits_{n\to\infty} a_{n+1}\)}$$$$\left.a=2a-a^2\quad\right|-a$$$$\left.a-a^2=0\quad\right|\text{\(a\) ausklammern}$$$$\left.a(1-a)=0\quad\right|\text{Satz vom Nullprodukt}$$$$a=0\;\lor\;a=1$$Da die Folge streng monoton wächst, lautet der Grenzwert \(a=1\).
