Wie berechnet man den 3 Ortsvektor eines gleichseitigen Dreiecks?

Question

Aufgabe:

Wie berechnet man den 3 Ortsvektor eines gleichseitigen Dreiecks?

Problem/Ansatz:

Ich habe die Punkte A und B und benötige C aber ich weiß einfach nicht wie ich den 3. Punkt berechnen soll. (Das Dreieck liegt in der x1,x2 Ebene) ich weiß dass dir winkel 60 grad groß sind aber ich weiß nicht wie mir das hilft.

Kann mir das vielleicht jemand erklären?

Answer 1

Hallo Lara,

Ein Trick besteht darin, einen Vektor zu finden, der senkrecht auf dem Vektor \(\vec {AB}\) steht. Ganz allgemein gilt$$\vec r = \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \implies \vec r^{\perp} = \begin{pmatrix} -y\\x \end{pmatrix}$$Die Höhe \(h\) im gleichseitigen Dreieck ist \(h = \frac 12 \sqrt 3\, s\), wenn \(s\) die Seitenlänge ist. Folglich berechnet sich der Punkt \(C\) ausgehend vom Mittelpunkt \(M_c\) der Strecke \(AB\):$$\begin{aligned} C &= M_c + \frac 12\sqrt 3\, \vec{AB}^{\perp}\\ &= \frac 12(A+B) + \frac12 \sqrt 3(B-A)^{\perp} \end{aligned}$$

Comments

Hallo, ich glaub ich hab mich falsch ausgedrückt als ich die Ebene angegeben habe. Es gibt trotzdem eine x3 Ebene nur liegt das Dreieck in der x2 x1 Ebene. Also brauche ich 3 werte pro Vektor. Geht das dann trotzdem so?

---

Geht das dann trotzdem so?

Ja - ich hatte je keine Einschränkungen bzgl. einer dritten Dimension gemacht. So gibt es aber unendlich viele Lösungen!

Soll das Dreieck senkrecht auf der \(x_1x_2\)-Ebene stehen, oder soll \(C\) in der \(x_1x_2\)-Ebene liegen? Oder gibt es andere Einschränkungen?

---

Das gesamte Dreieck liegt in der x1,x2 Ebene.

---

Das gesamte Dreieck liegt in der x1,x2 Ebene.

Das ist nun gar kein Problem. Füge zu jedem der Punkte und Vektoren die Z-Koordinate \(z=0\) hinzu - und fertig!

---

Ok, dann hätte ich aber noch eine Frage. Woher kommt das 0.5 Wurzel 3 ?? (Bei h)

---

Woher kommt das 0.5 Wurzel 3 ?? (Bei h)

Das kommt vom alten Pythagoras ;-)

Betrachte das rechtwinklige Dreieck \(\triangle AM_cC\) oben in der Skizze. Die Höhe \(h\) ist die Strecke \(M_cC\), die gleichzeitig Kathete des Dreiecks \(\triangle AM_cC\) ist. Laut Pythagoras gilt:$$\begin{aligned} |AC|^2&= |AM_c|^2 + |M_cC|^2 \\ |AC|^2 &= \left( \frac 12 |AC|\right)^2 + h^2 \\ \implies h &= \sqrt{ |AC|^2 - \left( \frac 12 |AC|\right)^2} \\ &=  \sqrt{1 - \frac 14} \,\cdot |AC|\\&= \frac 12 \sqrt 3\, \cdot |AC|\end{aligned}$$

---

Ok vielen Dank, ich verstehe aber den 2. schritt bei der Berechnung von C noch nicht.. wieso macht man das so???

---

Was meinst Du mit „2. Schritt“? Was konkret verstehst Du nicht?

---

Wieso das C=0,5(A+B)+0,5wurzel3(B-A)orthogonal

Woher die Rechnung? Wieso??????

---

Woher die Rechnung? Wieso??????

Ops! - ich dachte mein Bild oben reicht aus. Aber gut:

Zunächst geht es darum, bis zum Punkt \(M_c\) zu kommen. \(M_c\) liegt auf halber Strecke zwischen \(A\) und \(B\). Von \(A\) nach \(B\) geht der Vektor$$\vec{AB} = B-A$$Die Hälfte (lila) davon ist$$\frac 12 \vec {AB} = \frac12 (B-A) $$und wenn man über den Punkt \(A\) nach \(M_c\) will so ist der Ortsvektor zu \(M_c\) (grün)$$\begin{aligned}M_c &= A + \frac 12(B - A) \\&= A + \frac 12 B - \frac 12 A \\&= \frac 12 A + \frac 12 B \\&= \frac12(A + B)\end{aligned}$$Von \(M_c\) aus kann man nach \(C\) kommen. Der Vektor \(\vec{AB}^{\perp}\) (s.o. wg \(\perp\)) steht senkrecht auf \(\vec{AB}\) und ist genauso lang, also auch genauso lang wie eine Seite des gleichseitigen Dreiecks. Da die Höhe im Dreieck \(\sqrt3/2\) mal die Seitenlänge ist, ist der Vektor \(\vec{M_cC}\) (rot)$$\vec{M_cC} = \frac 12 \sqrt 3 \, \vec{AB}^{\perp}$$und wenn man die beiden addiert (grüner plus roter Vektor), kommt man zum Ortsvektor von \(C\)$$\begin{aligned} C &= M_c + \frac 12\sqrt 3\, \vec{AB}^{\perp}\\ &= \frac 12(A+B) + \frac12 \sqrt 3(B-A)^{\perp} \end{aligned}$$