Folgen und deren Grenzwert

Question

Ich brauche hier Hilfe ich kann die Aufgaben nicht lösen

Bestimmen Sie \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} \) für

(1) \( a_{n}=\frac{n}{2^{n}} \)

(2) \( a_{n}=\sqrt[n]{2^{n} n^{3}+n^{2}} \)

(3) \( a_{n}=\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \)

(4) \( a_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2 n} \)

(5) \( a_{n}=\frac{1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2}}{n^{3}} \)

(6) \( a_{n}=\frac{n}{\sqrt{n^{2}+n}} \)

Answer 1

1. lim = 0

2^n wächst schneller als n.

2. Klammere unter der Wurzel 2^n aus

3. Erweiterer zur 3.binom. Formel

4. a^(2n) = (a^n)^2

(1+1/n)^n hat den Grenzwert e.

--> lim = e^2

6.n^2 unter der Wurzel ausklammern: → n^2(1+1/n)

Teilwurzel ziehen und mit n kürzen → 1/(√1+1/n) = 1 für x gg. oo