Folgen und deren Grenzwert

Question

Ich brauche hier Hilfe ich kann die Aufgaben nicht lösen

Bestimmen Sie $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}$ für

(1) $a_{n}=\frac{n}{2^{n}}$

(2) $a_{n}=\sqrt[n]{2^{n} n^{3}+n^{2}}$

(3) $a_{n}=\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$

(4) $a_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2 n}$

(5) $a_{n}=\frac{1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2}}{n^{3}}$

(6) $a_{n}=\frac{n}{\sqrt{n^{2}+n}}$

Answer 1

1. lim = 0

2ⁿ wächst schneller als n.

2. Klammere unter der Wurzel 2ⁿ aus

3. Erweiterer zur 3.binom. Formel

4. a^(2n) = (aⁿ)²

(1+1/n)ⁿ hat den Grenzwert e.

--> lim = e²

6.n² unter der Wurzel ausklammern: → n²(1+1/n)

Teilwurzel ziehen und mit n kürzen → 1/(√1+1/n) = 1 für x gg. oo