Überprüfen ob die Richtungsvektoren der beiden Geraden das Vielfache voneinander sind

Question

Aufgabe:

Überprüfen, ob die die Richtungsvektoren der beiden Geraden das Vielfache voneinander sind.
Nur wenn ja mit der Punktprobe entscheiden, ob die Geraden parallel oder identisch sind.

a) \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}-1 \\ 3 \\ 2\end{array}\right)+k \cdot\left(\begin{array}{r}2 \\ 1 \\ -1\end{array}\right) ; \quad h: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}-2 \\ 1 \\ 7\end{array}\right)+k \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) \)
d) \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}5 \\ 0 \\ 3\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{r}1 \\ 2 \\ -1\end{array}\right) ; \quad h: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}-1 \\ -2 \\ 6\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{r}4 \\ -2 \\ -1\end{array}\right) \)
b) \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}-5 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)+k \cdot\left(\begin{array}{r}-2 \\ 3 \\ -1\end{array}\right) ; \quad h: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 5 \\ 3\end{array}\right)+k \cdot\left(\begin{array}{r}4 \\ -6 \\ 2\end{array}\right) \)
e) \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 6 \\ 4\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 4 \\ 1\end{array}\right) ; \quad h: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 3\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{r}2 \\ 3 \\ -1\end{array}\right) \)
c) \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}4 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)+k \cdot\left(\begin{array}{r}1 \\ -3 \\ 2\end{array}\right) ; \quad h: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}17 \\ -38 \\ 24\end{array}\right)+k \cdot\left(\begin{array}{r}-5 \\ 15 \\ -10\end{array}\right) \)
f) \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{r}1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right) ; h: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}3 \\ -2 \\ 4\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}4 \\ 6 \\ 0\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Ich bräuchte Hilfe bei der Aufgabe, wäre nett wenn mir jemand helfen könnte :)

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Mich würde die Lösung auch interessieren, da ich gerade das gleiche Thema habe!

Answer 1

Hallo,

du prüfst zunächst, ob es ein r gibt, so dass die Gleichung \( \vec{a} =r\cdot \vec{b}\), wobei a und b die richtungsvektoren der Geraden darstellen.

a) \(\begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix}=r\cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}\\\text{Das Gleichungssystem dazu sieht so aus:}\\2 = r\\1=0\\-1=r\)

Also sind die Geraden nicht parallel. Anders sieht es bei b) aus:

\(\begin{pmatrix} -2\\3\\-1 \end{pmatrix}=r\cdot \begin{pmatrix} 4\\-6\\2 \end{pmatrix}\\-2=4r\Rightarrow r = -0,5\\3=-6r\Rightarrow r = -0,5\\ -1=2r\Rightarrow r = -0,5\)

Falls die Geraden identisch sind, muss der Punkt (2|5|3) auf g liegen:

\(\begin{pmatrix} -5\\1\\2 \end{pmatrix}+k\cdot \begin{pmatrix} -2\\3\\-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\5\\3 \end{pmatrix}\\-5-2k=2\Rightarrow k=-3,5\\1+3k=5\Rightarrow k=\frac{4}{3}\)

Dieser Widerspruch reicht um zu zeigen, dass die Geraden parallel zueinander sind.

Gruß, Silvia

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Vielen dank, jetzt versteh ich es! LG