Hat eine Funktion an jeder definierten Stelle einen Grenzwert?

Question

Eine Funktion sei an einer bestimmten Stelle definiert und hat dort z.B. den Punkt (3/7).

Hätte die Definition dann an der Stelle x_a = 3 den Grenzwert a = 7?

Laut Definition eines Grenzwerts (so wie wir ihn gelernt haben), ist ein Grenzwert dort, wo der Abstand |f(x) - a| beliebig klein gemacht werden kann, während auch der Abstand |x - x_a| beliebig klein wird.

Das ist hier erfüllt, obwohl die Funktion an dem Punkt (3/7) definiert ist.

Also zusammengefasst: Hat eine Funktion theoretisch an jedem Punkt an dem sie definiert ist auch einen Grenzwert, der dem Funktionswert entspricht?

Answer 1

Wenn du eine Funktion f hast mit

f(x)=0 für x≠3 und

f(x)=7 für x=3

- beantwortet das Beispiel deine Frage?

Comments

Leider noch nicht ganz. Ich verstehe nicht wieso f(x) = 0 sein muss für x≠3 und heißt "wenn" in dem Falle, dass der Grenzwert dann dort liegt?

Danke schonmal für deine Antwort!

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Ich verstehe nicht wieso f(x) = 0 sein muss für x≠3

Ich habe meine Beispielfunktion so definiert.

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Und in diesem Fall wäre dann für f(3) = 7 auch der Grenzwert 7?

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Nein, der Grenzwert bei Annäherung an die Stelle x=3 wäre 0. Nur den Funktionswert an der Stelle 3 selbst ist ein anderer...