Aloha :)
Die partielle Ableitung von \(\mu(x;y)\) nach \(x\) muss gleich der \(x\)-Komponente sein:
$$\frac{\partial\mu}{\partial x}(x;y)=2y^2+3x+\frac{2}{x^2}\implies \mu(x;y)=2y^2x+\frac{3}{2}x^2-\frac{2}{x}+c(y)$$Die rechte Seite ist durch Integration über \(dx\) entstanden. Dabei entsteht eine Integrations"konstante" \(c(y)\), die von \(y\) abhängen kann.
Die partielle Ableitung von \(\mu(x;y)\) nach \(y\) muss gleich der \(y\)-Komponente des Gradienten sein. Wir setzen daher \(\mu(x;y)\) von oben ein und vergleichen das Ergebnis mit der \(y\)-Komponente des Gradienten:
$$\frac{\partial\mu}{\partial y}(x;y)=4xy+c'(y)\stackrel!=2xy-\frac{y}{x}\implies c'(y)=-2xy-\frac{y}{x}\quad\text{Problem!}$$
Hier haben wir nun ein Problem, denn die Integrations"konstante" \(c(y)\) hängt nicht nur von \(y\), sondern auch von \(x\) ab. Daher gibt es kein Potential \(\mu(x;y)\) für den angegebenen Gradienten.
