Oberflächeninhalt eines Rotationskörper

Question

Aufgabe:

Das rechtwinklige Dreieck LIE mit L (0|0|2), I (0|6|10) und E (0|0|10) rotiert

a.) um die x3-Achse b.) um die Parallele zur x2-Achse durch den Punkt L,

Vergleichen Sie die Volumina und die Oberflächeninhalte der entstehenden Rotationskörper.

Problem/Ansatz:

Meine Lehrerin macht keinen Unterricht während dem Home-Schooling, weswegen wir uns das Thema versuchen sollen selber bei zu bringen, aber leider habe ich nicht wirklich eine Ahnung wie ich hier ansetzten muss.

Vielen Dank schon mal für eine Antwort! Ich schätze jede Hilfe sehr!

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Ich habe zwar eine Antwort gegeben, bin aber nicht sicher, ob sie passend ist, denn ich kenne das Thema nicht. Ich habe gängige Formel zur Volumen_ und Oberflächenberechnung benutzt. Wenn aber das Thema Integralrechnung ist, wenn die von mir benutzten  Formeln also erst entwickelt werden sollen, dann sieht die Antwort etwas anders aus.

Answer 1

Hallo,

mache Dir ein Bild!

Das rechtwinklige Dreieck LIE mit L (0|0|2), I (0|6|10) und E (0|0|10) rotiert a.) um die x3-Achse

Das ist ein Kegel mit der Höhe \(h=|EL|=8\) und Radius \(r=|EI|=6\). Die Formeln für Volumen und Oberfläche gibt's hier:$$V_1 = \frac 13 h\pi r^2\\ O_1 = G + M = \pi r^2 + \pi rs = \pi r^2 + \pi r\sqrt{r^2 + h^2}$$

b.) um die Parallele zur x2-Achse durch den Punkt L

Dies ist ein Zylinder, aus dem ein Kegel geschnitten wurde. In jedem Fall gilt \(h=|EI|=6\) und \(r = |EL|=8\). Das Volumen ist die Differenz der Volumen von Zylinder minus Kegel:$$V_2 = V_z - V_k = \frac 23 h \pi r^2$$Die Oberfläche setzt sich aus den beiden Mantelflächen von Zylinder und Kegel und der Grundfläche des Zylinders zusammen:$$\begin{aligned}O_2 &= M_z + M_k + G \\&= 2h \pi r + \pi r\sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2\end{aligned}$$Wenn Du sie nur vergleichen sollst, so lohnt es sich, vor dem Einsetzen von Zahlen, die Ausdrücke durch einander zu dividieren. Zum Beispiel$$\frac{V_2}{V_1} =\frac{ \frac 23 h_2 \pi r_2^2}{\frac 13 h_1\pi r_1^2} = \dots$$Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

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Vielen Dank! Es ist wirklich sehr anschaulich dargestellt!

Answer 2

Zeichne die Punkte \(L\), \(I\) und \(E\) in ein Koordinatensystem ein falls du dir nicht vorstellen kannst wo sie liegen. Dann wirst du feststellen:

• Rotation um die \(x_3\)-Achse ergibt einen Kegel.
• Rotation um die Parallele zur \(x_2\)-Achse durch den Punkt \(L\) ergibt den Rest eines Zylinders wenn man eine Pyramide ausschneidet.

Bestimme die Abmessungen der entstandenen Körper. Verwende die aus der Unterstufe bekannten Formeln um Volumina und Oberflächeninhalte zu berechnen.

Abstand zwischen zwei Punkten \(A = (x_A | y_A | z_A)\) und \(B=(x_B | y_B | z_B)\) ist

        \(\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2+\left(z_B-z_A\right)^2}\).

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ergibt den Rest eines Zylinders

Warum nicht "eines Quaders" ?

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Weil durch die Rotation von \(E\) um \(L\) in der \(x_1x_3\)-Ebene ein Kreis entsteht.

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Vielen Dank für Ihre Hilfe!

Answer 3

a)

$$V=G*h/3=π*6^2*8/3≈301,593\space VE$$

$$O=π(r^2+R^2*r/R)=π*(6^2+10*6)≈301,593\space FE$$

b)

$$V=2G*h/3=2*π*8^2*6/3≈804,248\space VE$$

$$O=π(r^2+R*r+2r*h)=π(8^2+10*8+2*8*6)≈753,982\space FE$$

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Antwort vervollständigt.