Question

Wie findet man von einer Funktion mit zwei Unbekannten die Paare von Zahlen, welche die Funktion lösen und gerade sind.

Bsp.: 1/N + 1/ X = 4/67

Answer 1

Nach N aufgelöst: N= \( \frac{4x}{x-4} \). N ist für durch 4 teilbare Zahlen x eine gerade Zahl.

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Irgendwie passt das nicht zur Aufgabe.

:-)

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Die Aufgabe wurde zwischenzeitlich geändert.

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Bsp.: 1/N + 1/ X = 5/ 20

Der Frager scheint ein wenig seltsam zu sein.

Answer 2

Wie findet man von einer Funktion mit zwei Unbekannten die Paare von Zahlen, welche die Funktion lösen

Man formt nach einer der Variablen um, setzt für die andere Variable Werte ein und rechnet aus.

und gerade sind.

Man setzt nur gerade Werte ein und prüft ob auch das Ergebnis gerade ist.

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Wenn nun aber das Spektrum an möglichen  Werten zum überprüfen viel zu groß ist

Answer 3

1/N + 1/ X = 4/67.  |*67*N*X

67X+67N=4*N*X

67*(X+N)=4*N*X

Eine der beiden Zahlen, z.B. X muss ein Vielfaches von 67 sein, X+N muss ein Vielfaches von 4 sein.

67*(67k+N)=4*N*67k

67k+N=4*N*k

N=4*N*k-67k

N=k*(4*N-67)

Für N=17 ist die Klammer gleich 1.

17=k*1

k=17

X=17*67=1139

Wolframalpha sagt, dass

\( N=17 \) und \( X=1139 \)

die einzige Lösung ist, wobei die Zahlen dummerweise nicht gerade sind.

:-)

Answer 4

So gemeint?

1/17 + 1/1139 = 4/67

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Wie kommt man drauf, wenn man keinen Computer benutzen möchte?

Etwa so:

4/67 =

4/(4*17) + (4/67-4/(4*17)) =

1/17 + 1/1139

(Greedy-Algorithmus zur Zerlegung echter Brüche in eine Summe von Stammbrüchen. Der Algorithmus findet allerdings immer nur eine Lösung und das muss auch nicht die kürzeste sein. Negative Lösungen werden nicht berücksichtigt. Es gibt natürlich auch andere Möglichkeiten.)

Sollen die Nenner unbedingt durch zwei teilbar sein, so ist das gleichbedeutend mit der Stammbruchzerlegung von 8/67.

Lässt man nur positive Lösungen zu, dann ist der Suchraum bei nur zwei Summanden endlich.