Ist die Lösung bei festem x [0,1] für wachsende t monoton wachsend / fallend?

Question

Aufgabe:

Ist die Lösung bei festem x [0,1] für wachsende t monoton wachsend / fallend ?

Problem/Ansatz:

∂u/∂t=∂^2u/∂x^2, u(0,x) = sin(πx), u(t,0)  = u(t,1)  = 0

Zuvor sollte man bereits zeigen, ob der räumliche Mittelwert unabh. von t ist, sowie, dass u(t,x) ≥ 0 für alle t ≥ 0 und 0 ≤ x ≤ 1.

LG Nils

Answer 1

Hallo

mit dem Ansatz u(x,t)=g(t)*f(x) findest du ein einfache Dgl für g(t)  und f(x) und kannst danach entscheiden .

Gruß lul

Comments

Hallo,

danke für die schnelle Antwort!

So in der Art hatte ich schon einen Ansatz aufgestellt, und zwar habe ich u(x,t) = e^(-pi^2*t) * sin(pi*x) aufgestellt.

Somit lassen sich die ersten beiden Forderungen erklären. Nur habe ich noch Probleme damit die Monotonie zu bestimmen.

Mein Ansatz ist es, u(x,t) nach x abzuleiten und dann einmal x=0 und einmal x=1 einzusetzten. Dabei komme ich auf das Ergebnis: Für x = 0 monoton fallen und für x = 1 monoton steigend, da die e-Funktion nicht negativ werden kann und der Sinus von 0 oder pi gleich 1 bzw. -1 ist.

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Hallo

sin(0)=0 sin(pi)=0 dazwischen ist sin(x) positiv.

lul