Darstellungsmatrix und Basiswechsel ...

Question

Ich hätte da eine generelle Frage zum Thema Basiswechsel.

Möchte ich die Basis wechseln und von der Darstellungsmatrix bezüglich der Einheitsmatrix zur Darstellungsmatrix der neuen Basis kommen, gibt es unterschiedliche Zwischenschritte.

Ich habe folgende Aufgabe:

$$\text{ f1: } \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^2 \text{ mit } C_{E}^E(f1) =\begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\text{, } V:=(\begin{pmatrix} 7\\2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 3\\9 \end{pmatrix} )\text{, }C_{E}^V(f1)=?$$

Ich weiss wohl, wie ich $$C_{E}^V(id)$$ berechne, doch komme ich partout nicht auf $$C_{E}^V(f1)$$...

Für den Basiswechsel würde ich zunächst versuchen, die neue Basis als Linearkombination der alten Basis darzustellen und würde dann entsprechend $$C_{E}^V(id)$$ erhalten. Oder habe ich hier einen Gedankenfehler? Wie gehe ich weiter vor? Gruss CC

Answer 1

Du brauchst doch nur die Bilder der neuen Basisvektoren zu bestimmen:

$$f1(\begin{pmatrix} 7\\2 \end{pmatrix}) =\begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 7\\2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 10\\9 \end{pmatrix} $$

und entsprechend mit dem 2. Basisvektor, dann hast du schon deine Matrix;

denn im Zielraum bleibt ja die Standardbasis:

$$\begin{pmatrix} 10 & 45 \\ 9 & 12 \end{pmatrix} $$

oder du rechnest

$$ C_{E}^V(f1) = C_{E}^E(f1)  \cdot C_{E}^V(id) $$

Comments

Hab ich auch gerade rausgefunden.... Danke trotzdem! ;-)