Aufgabe:
Ich habe folgendes Problem (ein anderes als die zuvor gestellte Frage) - ich verstehe nicht ganz inwiefern die Injektivitität, Surjektivität und Bijektivität in Bezug auf das Lösen von Linearen Gleichungssystemen mit Matrizen zu verstehen ist. Sollte die Abbildungsmatrix (A) injektiv sein, dann gibt es höchstens eine Lösung (weil die Spalten/ Zeilen linear unabhängig sind?), sollte die Abbildung surjektiv sein, gibt es mindestens eine Lösung des Gleichungssystems (d.h. die Spalten der Abbildungsmatrix sind linear abhängig, oder wie sei das zu verstehen?)
Und wenn die Matrix regulär ist, dann ist es eine bijektive Abbildung (d.h. es gibt genau eine Lösung) -> impliziert, dass die Determinante gleich 0 sein soll.
Problem/Ansatz:
Meine Frage wäre nur, wie verändert sich die Lösung, wenn die Spalten der Abbildungsmatrix (A * x = b) linear abhängig sind? Würde das heißen, dass der Defekt (bspw.: bei einer 2x2 Matrix) bspw. 2 ist und die von uns erlernte Formel s (für die Anzahl der Kernabbildungen) = Dimension - Rang (1) = 1 und damit gäbe es eine Lösung (die verschoben wird - inhomogen) + die homogene Lösung? Wenn die Spalten bspw. vollen Rang hätten (2), dann wäre die Kernabbildungsmenge ja 2 => 2 - 2 = 0 (aber es könnte lt. der Definition von injektiv trotzdem höchstens 1 Lösung geben) - das erscheint mir leider alles nicht wirklich logisch - und muss die Determinante immer != 0 sein, um ein GS zu lösen? (so wie wir es in der Schule einmal gelernt haben?)
