Monotonie und Grenzwerte

Question

Aufgabe:

Sei x₀ ∈ [0,1/2]  und x_n = x²_n-1  + 1/4 für n ≥ 1.

(a) Untersuchen Sie die Folge (xn)n≥0 auf Monotonie.

(b) Zeigen Sie, dass lim xn n→∞  = 1/2

Problem/Ansatz:

eine ausfürlische lösung wäre es gut.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge...

Wir untersuchen die Folge:$$x_n\coloneqq x^2_{n-1}+\frac{1}{4}\quad;\quad x_0\in\left[0\,\bigg|\,\frac{1}{2}\right]$$

a1) Monotonie:$$x_{n+1}-x_n=\left(x^2_{n}+\frac{1}{4}\right)-x_n=x_n^2-2\cdot\frac{1}{2}\cdot x_n+\left(\frac{1}{2}\right)^2=\left(x_n-\frac{1}{2}\right)^2\ge0$$Da eine Quadratzahl immer $\ge 0$ ist, gilt $x_{n+1}-x_n\ge0$ bzw. $x_{n+1}\ge x_n$ für alle $n\in\mathbb N$, und zwar unabhängig vom Startwert $x_0$. Die Folge ist also monoton wachsend.

a2) Beschränktheit:

Eine Folge konvergiert, wenn sie monoton und beschränkt ist. Wir untersuchen die Folge daher noch auf Beschränktheit. Wegen $x_0\ge0$ und $x_n=x_{n-1}^2+\frac{1}{4}$ sind alle $x_n\ge0$. Weiter gilt:$$0\le x_n\le\frac{1}{2}\implies0\le x_n^2\le\frac{1}{4}\implies\frac{1}{4}\le x_n^2+\frac{1}{4}\le\frac{1}{2}\implies\frac{1}{4}\le x_{n+1}\le\frac{1}{2}$$Alle Folgenglieder sind also $\le\frac{1}{2}$. Das heißt, die Folge $x_n$ ist für alle $n\in\mathbb N_0$ auf das Intervall $[0;\frac{1}{2}]$ beschränkt.

b) Grenzwert:

Wir wissen nun, dass der Grenzwert $x\coloneqq\lim\limits_{n\to\infty}x_n$ exisitert und können in berechnen:$$\left.x_n=x^2_{n-1}+\frac{1}{4}\quad\right|\lim\limits_{n\to\infty}(\cdots)$$$$\left.\lim\limits_{n\to\infty} x_n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(x^2_{n-1}+\frac{1}{4}\right)\quad\right|\text{Grenzwertsätze}$$$$\left.\lim\limits_{n\to\infty} x_n=\left(\lim\limits_{n\to\infty}x_{n-1}\right)^2+\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{4}\quad\right|x=\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}x_{n-1}$$$$\left.x=x^2+\frac{1}{4}\quad\right|-x$$$$\left.x^2-x+\frac{1}{4}=0\quad\right|\text{2-te binomische Formel}$$$$\left.\left(x-\frac{1}{2}\right)^2=0\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$\left.x-\frac{1}{2}=0\quad\right|+\frac{1}{2}$$$$x=\frac{1}{2}$$