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Willkommen in der Mathelounge...
Wir untersuchen die Folge:$$x_n\coloneqq x^2_{n-1}+\frac{1}{4}\quad;\quad x_0\in\left[0\,\bigg|\,\frac{1}{2}\right]$$
a1) Monotonie:$$x_{n+1}-x_n=\left(x^2_{n}+\frac{1}{4}\right)-x_n=x_n^2-2\cdot\frac{1}{2}\cdot x_n+\left(\frac{1}{2}\right)^2=\left(x_n-\frac{1}{2}\right)^2\ge0$$Da eine Quadratzahl immer \(\ge 0\) ist, gilt \(x_{n+1}-x_n\ge0\) bzw. \(x_{n+1}\ge x_n\) für alle \(n\in\mathbb N\), und zwar unabhängig vom Startwert \(x_0\). Die Folge ist also monoton wachsend.
a2) Beschränktheit:
Eine Folge konvergiert, wenn sie monoton und beschränkt ist. Wir untersuchen die Folge daher noch auf Beschränktheit. Wegen \(x_0\ge0\) und \(x_n=x_{n-1}^2+\frac{1}{4}\) sind alle \(x_n\ge0\). Weiter gilt:$$0\le x_n\le\frac{1}{2}\implies0\le x_n^2\le\frac{1}{4}\implies\frac{1}{4}\le x_n^2+\frac{1}{4}\le\frac{1}{2}\implies\frac{1}{4}\le x_{n+1}\le\frac{1}{2}$$Alle Folgenglieder sind also \(\le\frac{1}{2}\). Das heißt, die Folge \(x_n\) ist für alle \(n\in\mathbb N_0\) auf das Intervall \([0;\frac{1}{2}]\) beschränkt.
b) Grenzwert:
Wir wissen nun, dass der Grenzwert \(x\coloneqq\lim\limits_{n\to\infty}x_n\) exisitert und können in berechnen:$$\left.x_n=x^2_{n-1}+\frac{1}{4}\quad\right|\lim\limits_{n\to\infty}(\cdots)$$$$\left.\lim\limits_{n\to\infty} x_n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(x^2_{n-1}+\frac{1}{4}\right)\quad\right|\text{Grenzwertsätze}$$$$\left.\lim\limits_{n\to\infty} x_n=\left(\lim\limits_{n\to\infty}x_{n-1}\right)^2+\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{4}\quad\right|x=\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}x_{n-1}$$$$\left.x=x^2+\frac{1}{4}\quad\right|-x$$$$\left.x^2-x+\frac{1}{4}=0\quad\right|\text{2-te binomische Formel}$$$$\left.\left(x-\frac{1}{2}\right)^2=0\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$\left.x-\frac{1}{2}=0\quad\right|+\frac{1}{2}$$$$x=\frac{1}{2}$$
