Anwendung der Normalverteilung

Question

Aufgabe:

Ein Multiple Choice Test enthält 100 Fragen mit jeweils drei Antwortmöglichkeiten, wovon stehts genau eine richtig ist. Befriedigend wird bei mindestens 50 richtigen Antworten vergeben. Ausreichend wird bei mindestens 40 richtigen Antworten vergeben. Ein Proband rät nur.

A: mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht er den Test mit befriedigend.

B: mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht der den Test nicht.

C: mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt der 28 bis 38 richtige Antworten.

Problem/Ansatz:

n=100       p=1/3

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Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge...

Hier soll eine Binomialverteilung mit Erwartungswert \(\mu\) und Varianz \(\sigma^2\) durch eine Normalverteilung approximiert werden. Wegen \(n=100\) und \(p=\frac{1}{3}\) sind$$\mu=n\cdot p=\frac{100}{3}\quad;\quad\sigma^2=n\cdot p\cdot(1-p)=\frac{200}{9}\implies\sigma=\frac{\sqrt{200}}{3}$$

Damit können wir die zu berechnenden Wahrscheinlichkeiten auf die Standardnormalverteilung \(\phi) zurückführen.$$p_A=P(\ge\text{50 richtige Antworten})=1-P(<\text{50 richtige Antworten})$$$$\phantom{p_A}=1-\phi\left(\frac{50-\mu}{\sigma}\right)=1-\phi(3,535534)=1-0,999797=0,000203=0,0203\%$$$$p_B=P(<\text{40 richtige Antworten})=\phi\left(\frac{40-\mu}{\sigma}\right)=\phi(1,414214)=0,921350=92,135\%$$$$p_C=P(28\le\text{richtige Antworten}\le38)$$$$\phantom{p_C}=P(\text{richtige Antworten}\le38)-P(\text{richtige Antworten}<28)$$$$\phantom{p_C}=\phi\left(\frac{38-\mu}{\sigma}\right)-\phi\left(\frac{28-\mu}{\sigma}\right)=\phi(0,989949)-\phi(-1,131371)$$$$\phantom{p_C}=0,838901-0,128950=0,709951=71,00\%$$Alle Fälle wurden ohne Stetigkeitskorrekur berechnet.