Lage von zwei Kurven / ganze Lösung

Question

Gegeben ist die Kostenfunktion K mit K (x) = 0,025 x2 + 2x + 160; x>0.
a) Welche Ursprungsgerade h schneidet die Kostenkurve in x = 20?
Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden und die Koordinaten des weiteren Schnittpunk-
tes. In welchem Bereich verläuft die Gerade h oberhalb der Parabel?
Interpretieren Sie den Sachverhalt ökonomisch.
b) Zeigen Sie: Die Ursprungsgerade mit Steigung 6 berührt die Kostenkurve.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Berührpunktes.

Answer 1

a) K(20)=210 , also hat die Ursprungsgerade h die Steigung

 210 / 20 = 10,5  und somit die Gleichung  y = 10,5x

Gleichsetzen mit K(x) gibt 0,025 x^2 + 2x + 160 = 10,5x

==>  x=20   oder x=320 .

Also ist der 2. Schnittpunkt bei x=320 und ist S(320 ; 3360)

Im Bereich von 20 bis 320 verläuft also die Gerade oberhalb der Parabel.

In diesem Bereich steigen die Kosten weniger als proportional an.

K(x)=6x hat die Lösung x=80. Also ist der

Berührpunkt B(80;480).