Gegenseitige Lage zwischen 2 Kurven?

Question

Hallo ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich leider nicht weiter komme :/

Also ich habe hier zwei Funktionen gegeben.

f(x)= -1/2x³+2x ; x∈ℝ

und

g(x)= -1/2(x³+2x²+x)  ; x∈ℝ

Zeigen Sie:Kf und Kg schneiden sich in genau einem Punkt senkrecht.

Muss man die beiden gegenüber stellen?

Also praktisch :

f(x)= g(x)

wenn ja, welche Vorgehensweise nutze ich dann?

Answer 1

f(x)= g(x)

ist ein guter Anfang.

 -1/2x³+2x  = -1/2(x³+2x²+x) 

 Nun bestimmst du erst mal die Schnittstellen: Klammern auflösen usw. 

Ich komme auf 

x1=0 und x2=-2.5 

f(x)= -1/2x³+2x

f '(x) = -3/2 x^2 + 2 

f '(0) = 2

f '(-2.5) = ....

g(x) =  -1/2(x³+2x²+x) 

g ' (x) = -1/2 ( 3x^2 + 4x + 1) 

g '(0) = -1/2 

g '(-2.5) = .....

Da 2*(-1/2) = -1, schneiden sich die Kurven in P(0|0} senkrecht.

Beim andern Schnittpunkt sollte dann als Produkt nicht -1 rauskommen. 

Comments

Ist somit die Rechnung fertig?

wieso steht bei beiden f(-2,5) oder g(-2,5) ?

Was kommt dabei raus? Ich mein wenn ich die einsetze, und berechne... würde da 0 raus kommen?

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Da an der Stelle null die Ableitung von f (x) gleich 2 ist und von g (x) gleich -1/2 ist, ist die Bedingung des Senkrechtstehens der beiden Graphen erfüllt, nämlich das die Steigung der einen Funktion das inverse reziprok der anderen Steigung ist. Jetzt ist nur noch zu zeigen, dass dieses Kriterium an der Stelle x=-2,5 nicht erfüllt ist.

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wie beweise ich dann, dass x=-2,5 nicht erfüllend ist?

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Bedingung für senkrechtes Aufeinanderstehen zweier Geraden
Steigung1 mal Steigung2 = -1
m1 * m2 = -1

f ´( 0 ) = 2
g ´ ( 0 ) = -1/2
2 * (-1/2) = -1  | erdüllt

f ´( -2.5 )  = -7.375
g ´( -2.5 ) = -4.875
-7.375 * -4.875 <> -1  | nicht erfüllt

~plot~ -1/2*x^{3}+2*x;-1/2*(x^{3}+2*x^{2}+x) ~plot~

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Achso!

Vielen lieben Dank! 

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Gast: " wie beweise ich dann, dass x=-2,5 nicht erfüllend ist? "

Das hättest du schon noch selbst ausrechnen dürfen. Aber die andern beiden haben dir ja inzwischen alles beantwortet.  

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Leider ist es so, dass ich nicht so begabt bin, was Mathematik angeht. Rechnungen und Übungen... Klar, die mache ich. Jedoch wird es problematisch, überhaupt was ausrechnen zu wollen, wenn ich die Zusammenhänge und Vorgehensweisen nicht verstehe!!! Aber vielen Dank für die Anmerkung, dass ich es selber ausrechnen sollte... das habe ich aber schon selbst verstanden, jedoch bin ich dabei nicht sooo weit gekommen ;)

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Jetzt ist aber alles klar oder?