Bestimmen Sie den Abstand zwischen den Kurven (Optimierungsproblem)

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Abstand zwischen den Kurven \( y=x^{2} \) und \( x-y=5 \), indem Sie folgendes Optimierungsproblem mithilfe der Multiplikatorregel von Lagrange lösen:

\(\displaystyle \begin{aligned} \min _{x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}} &\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2} \\ \text { s.t. } & y_{1}=x_{1}^{2} \\ & x_{2}-y_{2}=5 . \end{aligned} \)

Problem/Ansatz:

Comments

Und was ist Dein Problem dabei?

Kontrolllösung:

Die grüne Linie, die den Abstand zeigt, schneidet die blaue Linie bei x = 1 / 2 und die gelbe Linie bei x = 23 / 8.

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Hallo

was hindert dich das mit den 2 Nebenbedingungen aufzustellen, und die  partiellen Ableitungen 0 zu setzen?

lul

Answer 1

Also

\(  L(x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2},λ_1,λ_2)=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2} + λ_1(y_{1}-x_{1}^{2} )+λ_2( x_{2}-y_{2}-5)\)

partielle Ableitungen

\(   L_{x_1}  = 2\left(x_{1}-x_{2}\right)  -2x_1λ_1\)

\(  L_{x_2}  = -2\left(x_{1}-x_{2}\right)  + λ_2\)

\(  L_{y_1}  = 2\left(y_{1}-y_{2}\right)  + λ_1\)

\(  L_{y_2}  = -2\left(y_{1}-y_{2}\right)  - λ_2\)

\(  L_{λ_1}  = y_{1}-x_{1}^{2}   \)

\(  L_{λ_2}  =  x_{2}-y_{2}-5  \)

Wenn du alles gleich 0 setzt und die ersten beiden addierst und die 3. und 4. auch gibt es:

\(    -2x_1λ_1 +  λ_2 =0 \)   und  \(   λ_1 - λ_2 =0 \)

Das liefert \(  x_1 = 0,5  \)  und dann \(  y_1 = 0,25  \)   und  \(   λ_1 = λ_2 \)  .

Damit müsste es doch weiter gehen.

Sieht dann so aus: ~plot~ x^2;x-5;-x+0,75 ~plot~

Answer 2

Ganz ohne Optimierung und Lagrange:

gelbe Kurve hat Steigung 1, grüne Gerade schneidet blaue Kurve darum dort, wo auch blaue Kurve Steigung 1 hat, also im Punkt \(\left( \frac{1}{2} | \,\frac{1}{4} \right)\). Die grüne Gerade durch diesen Punkt und mit Steigung -1 schneidet die gelbe Kurve, das gibt den zweiten Punkt \(\left( \frac{23}{8} | \,-\frac{17}{8} \right)\). Berechne den euklidischen Abstand zwischen den beiden Punkten mit Pythagoras.