, ich bin neu hier :D
Aufgabe:
PDE: ut(x,t) =uxx(x,t)
Randbedingungen: u(0,t) = 0, RB2: u(pi,t) = 0
Anfangsbedingung: u(x,0) = 37 für 0 < x < pi
a) Bestimmen Sie durch den Separationsansatz u(x,t) = sin(cx)g(t) alle Lösungen dieser Form von (PDE),welche den Randbedingungen (RB) genügen.
b) Durch Superposition der in (a) gefundenen Lösungen bestimmen Sie nun diejenige Lösung von (PDE) und (RB), welche auch die Anfangsbedingung (AB) erfüllt.
Durch den Separationsansatz habe ich folgende allgemeine Lösung gefunden:
\( u(x,t) = \sum \limits_{n=1}^{\infty}b_{n}sin(nx)e^{^-n^2t} \)
Mit benützen der Anfangsbedingung bekomme ich:
\( u(x,0) = \sum \limits_{n=1}^{\infty}b_{n}sin(nx) = 37 \)
Die Fortsetzung soll ungerade 2*pi-periodisch sein also ergibt sich für den Fourierkoeffizienten bn das Integral:
\( b_{n}=\frac{1}{\pi}\int \limits_{-\pi}^{\pi}37*sin(nx) \)
Aber in der Lösung wird dieses Integral verändert in dem die Grenze auf 0 bis pi geändert wird und mal zwei gerechnet wird:
\( b_{n}=\frac{2}{\pi}\int \limits_{0}^{\pi}37*sin(nx) \)
Warum darf das gemacht werden? 37*sin(kx) ist doch keine gerade Funktion. Oder geht es nur darum das 37 eine gerade Funktion ist?
