Hallo, ich komme bei den Aufgaben nicht weiter. Wäre einer so Nett zu helfen vor allem bei Aufgabe 3 c) und 4b) ?
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Aufgabe 12.3:
Es seien \( K \) ein Körper, \( m, n, s \in \mathbb{N} \) und \( A, C \in M_{m \times n}(K) \) sowie \( B \in M_{n \times s}(K) \).
(a) Zeigen Sie: Rang \( (A+C) \leq \operatorname{Rang}(A)+\operatorname{Rang}(C) . \) Seien nun \( A, C \in M_{m \times n}(K) \)
Matrizen mit \( A, C \neq 0 . \) Gilt für solche Matrizen immer Rang \( (A+C)<\operatorname{Rang}(A)+ \) Rang \( (C), \) oder gibt es solche Beispiele mit Rang \( (A+C)=\operatorname{Rang}(A)+\operatorname{Rang}(C) ? \) Begründen Sie Ihre Antwort.
(b) Zeigen Sie: Rang \( (A B) \leq \min \{\operatorname{Rang}(A), \) Rang \( (B)\} . \) Geben Sie zusätzlich Beispiele für \( A \) und \( B \) an, für die Rang \( (A B)<\min \{\operatorname{Rang}(A), \) Rang \( (B)\} \) gilt.
(c) Zeigen Sie:
\( \operatorname{Rang}(A B)=\operatorname{Rang}(B)-\operatorname{dim}\left(\operatorname{Kern} L_{A} \cap \operatorname{Bild} L_{B}\right) \)
Aufgabe 12.4:
Es sei \( K \) ein Körper und \( n \in \mathbb{N} \).
(a) Es sei \( A \in M_{n}(K) . \) Zeigen Sie, dass \( A \) genau dann nicht invertierbar ist, wenn ein \( B \in M_{n}(K) \backslash\{0\} \) mit \( A B=0 \) existiert.
(b) Es sei \( C \in M_{2}(K) \) ein invertierbare Matrix. Zeigen Sie, dass \( C \) Produkt von höchtens 4 Elementarmatrizen ist.
