E-Funktion Medikament Blut

Question

Aufgabe: e-Funktion

Ein Medikament, das in Tablettenform verabreicht wird, wird in unterschiedlichen Wirkstoffdosierungen produziert. In den ersten 24 Stunden nach Einnahme einer Tablette kann die Wirkstoffkonzentration des Medikaments im Blut eines Patienten näherungsweise durch die Funktion f(t)= 2,5*t*e^-0,2t beschrieben werden. Dabei gibt t die Zeit seit der Einnahme in Stunden und f(t) die Wirkstoffkonzentration im Blut in Milligramm pro Liter an.

a) Berechnen Sie die Wirkstoffkonzentration im Blut des Patienten nach 3 Stunden.

b) Bestimmen Sie die maximale Wirkstoffkonzentration im Blut des Patienten.

c) Das Medikament ist nur wirksam, wenn die Konzentration im Blut mindestens 1,5 mg pro Liter beträgt. Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem spätestens eine erneute Verabreichung erfolgen muss, damit eine durchgehende Wirksamkeit gesichert ist.

d) Berechnen Sie den Zeitpunkt, an dem die Wirkstoffkonzentration am stärksten abnimmt.

e) Zeigen Sie, dass f(t)= -12,5*t*e^-0,2t -62,5*e^-0,2t eine Stammfunktion von f ist.

f) Berechnen Sie die mittlere Wirkstoffkonzentration im Blut des Patienten innerhalb der ersten 24 Stunden nach der Einnahme des Medikaments.

Problem/Ansatz:

Habe leider keine Ahnung, bitte helft mir.

Answer 1

Hallo Laura, herzlich willkommen in der Mathelounge,

es wäre hilfreich, wenn du uns genau sagen würdest, bei welcher Aufgabe es aus welchen Gründen hakt. Dann können wir dir beser helfen.

z.B.

a) Berechnen Sie die Wirkstoffkonzentration im Blut des Patienten nach 3 Stunden.

t ist die Anzahl der Stunden. Wirkstoffkonzentration ist f(t).

Was fällt dir dazu ein?

Gruß, Silvia

Comments

Leider verstehe ich einfach nichts davon.

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t betrifft die x-Achse und f(t) die y-Achse. Wie kannst du also die Wirkstoffkonzentration nach t = 3 Stunden herausfinden?

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Vielleicht f(t) = 2,5*3*e^-0,2*3

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genau so! Wie lautet dein Ergebnis?

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Allerdings ist das dann f(3) und nicht f(t).

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Habe gerundet 4,12 mg pro Liter

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@ koffi Das stimmt natürlich.

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Gut. Wie glaubst du, kann die maximale Konzentration bestimmt werden.

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f(24) = 2,5*24*e^-0,2*24 ?

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Ein Maximum bzw. berechnest du immer, indem du die 1. Ableitung = 0 setzt.

Ableitung = Steigung - Die ist bei Extrempunkten immer null.

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Wie bilde ich die Ableitung?

f‘(t) = 2,5 *t* (-0,2e^-0,2t) *2,5 * e^-0,2t

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Da die Funktion in Form eines Produktes vorliegt brauchst du die Produktregel zum Ableiten.

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f‘(t) = 2,5 * e^-0,2t + 2,5t * (-0,2e^-0,2t)

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Sehr schön, jetzt klammert du die e Funktion aus und setzt den Term gleich null.

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Wie genau? Könntest du mir das bitte zeigen? :)

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Das kann man noch etwas netter schreiben, indem du \(e^{-0,2x}\) ausklammerst:

\(f'(x)=e^{-0,2x}\cdot(-\frac{1}{2}x+2,5)\)

und berücksichtige dann den Satz vom Nullprodukt

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(2,5-2,5*0,2t)*e^{-0,2t}=0

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@silvia: um keine zusätzliche Verwirrung zu stiften würde ich weiter mit t als variable Arbeiten.

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Jetzt bin ich verwirrt, was richtig ist

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Es ist beides das gleiche.

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@koffi Ach Mist, das x hat sich bei mir festgesetzt.

@ Laura Tut mir leid, wenn ich damit Verwirrung gestiftet habe. Ich verwende oft automatisch x ohne auf die vorgegebene Variable zu achten.

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Kein Problem, passiert mir auch oft haha

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Okay also jetzt den Satz vom nullprodukt. Es reicht mit einer Hälfte des Terms weiterzurechnen.

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Mit 0,5t + 2,5

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Genau. Aber nicht das minus vergessen.

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genauer gesagt mit -0,5t + 2,5 = 0

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Wenn ich es Nullsetze kommt für t = 5 raus, ist das richtig?

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An Sylvias Grafik kannst du erkennen dass das stimmt. Jetzt musst du nur noch den entsprechenden funktionswert dazu ermitteln.

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f(5) = 2,5 * 5 * e^-0,2*5 ?

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Genau so......

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Gerundet habe ich dann 4,6 :)

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Könntet ihr mir noch bitte bei den weiteren Aufgaben helfen? :)

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das passt:

c) Das Medikament ist nur wirksam, wenn die Konzentration im Blut mindestens 1,5 mg pro Liter beträgt.

Schau dir dazu diese Skizze an:

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Dann einfach f(1,5) = 2,5 * 1,5 * e^-0,2*1,5 ?

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Nein, nicht f(1,5), denn 1,5 ist f(t). Du musst also die Schnittpunkte von f(t) und y = 1,5 bestimmen. Der rechte Schnittpunkt ist der gesuchte.

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Glaube noch nie in meinem Leben getan

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Dann wird es aber Zeit ;-)

Du setzt beide Funktionen gleich und löst nach t auf:

2,5t\cdot e^{-0,2t}=1,5

Das machst du aber am besten mit deinem Taschenrechner.

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Bin verwirrt hahha.

Also einfach 2,5 *t * e^-02t = 1,5 und dann beispielsweise-2,5 rechnen und dann habe ich -1 ? Wo macht man sowas im Taschenrechner?

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Das geht meiner Meinung nach nur mit einem Näherungsverfahren, aber das ist mir an dieser Stelle und um diese Uhrzeit zu aufwendig zu erkären (Nicht, dass ich darin sehr routiniert wäre). Nimm es für den Augenblick einfach so hin, morgen können wir das gerne näher besprechen.

Nächste Teilaufgabe: Wenn in einer Aufgabe nach stärkster Zu- oder Abnahme gefragt wird, ist der Wendepunkt zu berechnen bzw. hier nur die Wendestelle