Kurven einer Schar identifizieren

Question

Aufgabe: gegeben ist die Schar f(x)=x^3-ax^2

b) für welches a hat f bei x=1 ein Tiefpunkt

c) zeige dass die Tiefpunkte der Schar alle auf der Ostpolen y(x)=-1/2x^3

d) für welches a hat d einen Wendepunkt mit der Ordinate y=-2

e) welcher Graph der Schar hat die wendetangente y(x)=-12x+8

Comments

Welche Bedeutung kommt Ostpolen  zu ???

---

Das haben sich Hitler und Stalin damals auch schon gefragt und haben einfach entschieden: Westrussland.

---

Sorry

Sollte ortslinie heißen **

Answer 1

f(x)=x^3-ax^2  ==>   f ' (x) = 3x^2 - 2ax  

Damit bei x=1 ein Tiefpunkt ist, muss f ' (1) = 0 gelten,

also  3-2a=0 ==>    a=1,5.

c)  allgemein muss für Tiefpunkte also gelten 3x^2 - 2ax = 0

                        <=>  x* ( 3x - 2a ) = 0  <=>  x=0 oder   oder x = 2a/3

und f ' ' ( x) = 6x - 2a  zeigt: f ' ' (0) = -2a und f ' ' ( 2a/3) = 2a .

Es hängt also am Vorzeichen von a, wo die Tiefpunkte liegen.

Vielleicht ist ja a>0 vorausgesetzt, dann wären die Tiefpunkte

alle T ( 2a/3   ;   -4a^3 / 27 )

und für diese gilt in der Tat   y(x)=-1/2x^3.

d) Wendepunkt für f ' ' (x) = 0

==>        6x - 2a  = 0   <=>   x=a/3  und f ' ' ' (a/3) = 6 ≠  0

also alle Wendepunkte sind (  a/3  ; -2a^3/27 ) .

Ordinate -2 also für  -2a^3/27 = -2 <=>  a^3 = 27  <=> a=3

e) Wendetangente hat die Steigung -12

<=>    f ' ( a/3) = -12   <=>  -a^2/3 = -12 <=> a^2=36

                           <=>  a=6  oder a=-6 .

Wendepunkt wäre also W1 ( 2; -16 ) oder  W1 ( -2; 16 )

y(x)=-12x+8 stimmt aber nur für W1, also ist die

Antwort a = 6.

Comments

Vielen vielen vielen Dank!!!

Answer 2

Text erkannt:

b) für welches a hat \( f \) bei \( x=1 \) ein Tiefpunkt
\( f(x)=x^{3}-a \cdot x^{2} \)
\( f^{\prime}(x)=3 x^{2}-2 a x \)
\( 3 x^{2}-2 a x=0 \)
\( x \cdot(3 x-2 a)=0 \)
\( x_{1}=0 \)
\( x_{2}=\frac{2}{3} a \rightarrow \rightarrow 1=\frac{2}{3} a \rightarrow \rightarrow a=\frac{3}{2} \)
c) zeige, dass die Tiefpunkte der Schar alle auf der Ortslinie \( y(x)=-\frac{1}{2} x^{3} \) liegen:
\( f\left(\frac{2}{3} a\right)=\left(\frac{2}{3} a\right)^{3}-a \cdot\left(\frac{2}{3} a\right)^{2}=\frac{8}{27} a^{3}-\frac{4}{9} a^{3}=-\frac{4}{27} a^{3} \)
\( T\left(\frac{2}{3} a \mid-\frac{4}{27} a^{3}\right) \)
\( x=\frac{2}{3} a \) und \( y=-\frac{4}{27} a^{3} \)
\( a=\frac{3}{2} x \rightarrow \rightarrow y=-\frac{4}{27} \cdot\left(\frac{3}{2} x\right)^{3}=-\frac{1}{2} x^{3} \)
d) für welches a hat der Graph einen Wendepunkt mit der Ordinate \( y=-2 \)
\( f^{\cdots}(x)=6 x-2 a \)
\( 6 x-2 a=0 \rightarrow x=\frac{1}{3} a \rightarrow \rightarrow f\left(\frac{1}{3} a\right)=\left(\frac{1}{3} a\right)^{3}-a \cdot\left(\frac{1}{3} a\right)^{2}=\frac{1}{27} a^{3}-\frac{1}{9} a^{3}=-\frac{2}{27} a^{3} \)
\( -\frac{2}{27} a^{3}=-2 \)
\( \frac{1}{27} a^{3}=1 \)
\( a=3 \)