Kurven einer Schar identifizieren!

Question

HILFE

16. Kurven einer Schar identifizieren

Gegeben ist die ganzrationale Funktionenschar fa(x)= x^3 - ax^2

a) Welcher der drei abgebildeten Graphen stellt die Scharkurve f2 dar?
Begründen Sie Ihre Antwort stichhaltig.
b) Für welches a hat fa bei x=1 einen Tiefpunkt?
c) Zeigen Sie, dass die Tiefpunkte der Schar alle auf der Ortslinie y(x)=-1/2x^3 liegen.
d) Für welches a hat fa einen Wendepunkt mit der Ordinate  y=-2  ?
e) Welcher Graph der Schar hat die Wendetangente y(x)=-12x+8?
f) Die Graphen von f2und f3 schließen im 4. Quadranten mit der x-Achse ein Flächenstück A ein. Berechnen Sie den Inhalt von A.

…

Problem/Ansatz:

Answer 1

Du kannst die Graphen der Schar ganz leicht an ihren Nullstellen identifizieren

fa(x) = x^3 - a·x^2 = x^2·(x - a) = 0 --> x = 0 ∨ x = a

u: a = 2
v: a = 2
w: a = 3

a) Welcher der drei abgebildeten Graphen stellt die Scharkurve f2 dar?

Also v

b) Für welches a hat fa bei x = 1 einen Tiefpunkt?

fa'(x) = 3·x^2 - 2·a·x = x·(3·x - 2·a) = 0 → a = 1.5·x → für a = 1.5

Comments

c)

Setze a = 1.5·x aus Aufgabe b) in die Funktion ein und vereinfache den Ausdruck.

y(x) = x^3 - (1.5·x)·x^2 = - 1/2·x^3

---

d)
fa''(x) = 6·x - 2·a = 0 → x = a/3
fa(a/3) = (a/3)^3 - a·(a/3)^2 = - 2 → a = 3

---

e)
fa''(x) = 6·x - 2·a = 0 → x = 1/3·a
fa'(1/3·a) = - a^2/3 = - 12 → a = - 6 ∨ a = 6

f)
∫(x^3 - 3·x^2, x, 0, 3) - ∫(x^3 - 2·x^2, x, 0, 2) = - 65/12

Die Fläche beträgt also 65/12 = 5 5/12 FE

Answer 2

b) Für welches a hat fa bei x=1 einen Tiefpunkt?
f(x)= x³ - ax²

f´(x)=3x^2-2ax

3x^2-2ax=0

x*(3x-2a)=0

x₁=0

x₂=2/3a

1=2/3a    a=3/2

f(x)= x³ - 3/2x²

Comments

c) Zeigen Sie, dass die Tiefpunkte der Schar alle auf der Ortslinie y(x)=-1/2x³ liegen.

1.)x=2/3a      a=  3/2x

fa(2/3a)= (2/3a)³ - a*(2/3a)²=-4/27a^3

x=2/3a     a=3/2x    in   y=-4/27a^3   einsetzen

y=-4/27*(3/2x)^3 =-1/2x^3

---

d) Für welches a hat fa einen Wendepunkt mit der Ordinate y=-2  ?

\( f_{a}(x)=x^{3}-a x^{2} \)

\( f_{a}^{\prime}(x)=3 x^{2}-2 a x \)

\( f''_{a}(x)=6 x-2 a \)

\( 6 x-2 a=0 \)
\( 6 x=2 a \)
\( x=\frac{1}{3} a \)

\( \begin{aligned} f\left(\frac{1}{3} a\right) &=\left(\frac{1}{3} a\right)^{3}-a\left(\frac{1}{3} a\right)^{2} \\ &=\frac{1}{27} a^{3}-\frac{1}{9} a^{3} \\ &=-\frac{2}{27} a^{3} \end{aligned} \)

\( \begin{aligned}-\frac{2}{27} a^{3} &=-2 \\ a^{3} &=27 \\ a &=3 \end{aligned} \)

e) Welcher Graph der Schar hat die Wendetangente y(x)=-12x+8?

 \( \quad t(x)=-12 x+8 \)

\(WP\left(\frac{1}{3} a \mid-\frac{2}{27} a^{3}\right) \)

\( \begin{aligned} f^{\prime}\left(\frac{1}{3 }a\right)=& 3 \cdot\left(\frac{1}{3} a\right)^{2}-2 a \cdot \frac{1}{3} a \\ =& \frac{1}{3} a^{2}-\frac{2}{3} a^{2} \\ =&-\frac{1}{3} a^{2} \\  -\frac{1}{3 }a^{2}=-12 \\ a^{2}=36 \\ a=\pm 6 \\[10pt] a=6\Rightarrow & f(x)=x^{3}-6 x^{2} \\[10pt] WP(2|-16) \\ -16=&-12 \cdot 2+n \\ -16=&-24+n \\ 8=& n \end{aligned} \)

Answer 3

f separat: Vom Duplikat:

Titel: Berechnen Sie den Inhalt von A.

Stichworte: funktionenschar

Aufgabe

Die Graphen von f2und f3 schließen im 4. Quadranten mit der x-Achse ein Flächenstück A ein. Berechnen Sie den Inhalt von A.

Comments

Hallo,

warum stellst du Aufgabenteil f) als neue Frage ein, statt erst einmal auf die bisherigen Antworten zu reagieren aus der Reihe "Danke für die Antworten, aber ich weiß auch nicht, wie ich f) berechnen soll!"? Hilfreich wäre auch zu wissen, was genau du nicht verstehst.