Aloha :)
$$f(x)=\frac{1}{x^2-5x+6}=\underline{\frac{1}{(x-2)(x-3)}=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x-3}}$$Wenn du die unterstrichene Gleichung auf beiden Seiten mit \((x-2)\) multiplizierst und danach \(x=2\) einsetzt, bekommst du:$$\frac{1}{x-3}=a+\frac{b(x-2)}{x-3}\quad\stackrel{(x=2)}{\implies}\quad a=\frac{1}{2-3}=-1$$Wenn du die unterstrichene Gleichung mit \((x-3)\) multiplizierst und danach \(x=3\) einsetzt, bekommst du:$$\frac{1}{x-2}=\frac{a(x-3)}{x-2}+b\quad\stackrel{(x=3)}{\implies}\quad b=\frac{1}{3-2}=1$$Damit haben wir folgende Zerlegung gefunden:$$f(x)=\frac{-1}{x-2}+\frac{1}{x-3}$$
Das gesuchte Integral ist nun:
$$I=\int\limits_4^6\left(-\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-3}\right)dx=\left[\,-\ln|x-2|+\ln|x-3|\,\right]_4^6$$$$\phantom{I}=-\ln4+\ln3+\ln2-\ln1=\ln\frac{2\cdot3}{4}=\ln\frac{3}{2}\approx0,4055$$
