Nutze \( \sin \left(\frac{1}{n^{2}}\right) \leq \frac{1}{n^{2}} \)
aber auch:
\( \sin \left(\frac{1}{n^{2}}\right)<\frac{1}{n^{2}}<\tan \left(\frac{1}{n^{2}}\right) \)
Die Kosinusfunktion \( x \mapsto \cos (x) \) ist im Intervall \( [0,1] \) positiv sowie monoton fallend, daher kann man sofort abschätzen
\( 0<\tan \left(\frac{1}{n^{2}}\right)=\frac{\sin \left(\frac{1}{n^{2}}\right)}{\cos \left(\frac{1}{n^{2}}\right)} \leq \frac{\sin \left(\frac{1}{n^{2}}\right)}{\cos (1)}<\frac{1}{\cos (1)} \cdot \frac{1}{n^{2}} \)
Wir haben somit insgesamt die Majorantenabschätzung \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \tan \left(\frac{1}{n^{2}}\right) \leq \frac{1}{\cos (1)} \cdot \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} \).
