Question

Kann f°g ein Monomorphismus sein, wenn f ein Homomorphismus, aber kein Monomorphismus und g ein Epimorphismus ist?

Hier ist doch die Frage, ob f°g injektiv sein kann, wenn f nicht injektiv und g surjektiv ist?

Ich würde mal auf nein tippen, kann dies aber nicht begründen.

Answer 1

g: U → V  und  f: V → W

, wenn f ein Homomorphismus, aber kein Monomorphismus ist,

dann gibt es u.v ∈ V mit u≠v aber f(u) = f(v) .

Da g surjektiv ist, gibt es x,y∈U mit   g(x)=u und g(y)=v

und weil   u≠v  gilt auch x≠y .

Und es ist (fog)(x)= f(g(x)=f(u)

und (fog)(y)= f(g(y)=f(v)  = f(u) .

Also gibt es zwei verschiedene Elemente x,y∈U

mit (fog)(x) = (fog)(y) , somit ist

fog kein Monomorphismus.