Sind die Funktionen ein Homomorphismus, Monomorphismus, Epi-, Iso-, Endo- und/oder Automorphismus?

Question

Bestimmen Sie ob folgenden Funktionen Homomorphismus, Monomorphismus, Epimorphismus, Isomorphismus, Endomorphismus und/oder Automorphismus sind. 

1: f:(Z,+)→(2Z,+)mit f(x):=2x.

2: g: (R,·) → (R,·) mit g(x) := x2.

3: h: (R,+) → (R,·) mit h(x) := ex.

4: u:(Z,+)→(Z,+)mitu(x):=xn  für   ein   festesn  ∈N mit  n≥2. 

 ich denke das die Nr.2  Das Quadrieren x → x^2 ist ein Endomorphismus von G, aber wie kann ich das Mathematisch zeigen 

wie kann ich diesen folgende regel zeigen 

 Monomorphismus, falls injektiv ist

Epimorphismus, falls surjektiv ist

Isomorphismus, falls bijektiv ist,

Endomorphismus, falls ein Homomorphismus von G in sich selbst ist

Automorphismus, falls ein Isomorphismus von G in sich selbst.

 

Comments

Handelt es sich bei 2) um ein Tippfehler von dir? Müsste es nicht \( (\mathbb{R} \setminus \{0\}, \cdot) \) sein? Denn \( (\mathbb{R}, \cdot)  \) ist gar keine Gruppe.  Wenn ja, dann hast du richtig erkannt, dass es sich um ein Endomorphimus handelt.

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ja hast du recht es war ein Tippfehler von mir es müsste (ℝ∖{0},⋅)sein 

es gibt  noch andere tippfehler 

kann ich aber die lösung so begründen 

Das Quadrieren x → x^2 ist genau dann ein Homomorphismus, wenn für alle x,y ∈ G gilt (xy)^2 = x^2y^2, d.h. xyxy = xxyy. Die ist genau dann der Fall, wenn yx = xy gilt, wie man durch Multiplikation von links mit x^−1 und von rechts mit y^−1 sieht (bzw. mit x von links und mit y von rechts).Das Quadrieren x → x^2 ist ein Endomorphismus von G.

und kann ich die nr.3 so begründen 

 Die Gruppen  (R,+) und (R/{0},·) sind isomorph. Der Isomorphismus von (R,+)nach (R/{0,.}) ist die Exponentialfunktion exp: (R,+) →( R/{0},.)mit x → e^x wegen der Funktionalgleichung exp(x1 + x2) = 

exp(x1) · exp(x2).

 Die Umkehrabbildung log: (R/{0,.)} → (R,+) mit y → log y ist ein Isomorphismus von(R/{0},.)

 nach (R,+).

kannst du mir vlt. eine Ideen für nr.1 und nr. 4 geben 

 

Answer 1

Hi,

hier mal eine ausführliche Antwort nachdem das mit de Tippfehler besprochen ist.

Deine Begründung, dass 2) ein Homomorphismus ist genau richtig, allerdings brauchst du nicht extra nochmal die Kommutativität der Gruppe zu zeigen, da eigentlich schon bekannt sein sollte, dass sie abelsch ist. Das die Abbildung nicht "mehr" als ein Endom. ist liegt daran, dass sie weder surjektiv noch injektiv ist.

zu 3)

Die Abbildung \(h\) ist kein Isomorphismus sondern ein Monomorphismus. Sie ist ein injektiver Gruppenhomom. aber nicht surjektiv!

Außer es handelt sich hier ebenfalls um ein Tippfehler und die rechte Gruppe ist eigentlich \( (\mathbb{R}^+, \cdot) \).

zu 1) Ist ein Isomorphismus, \(f\) ist bijektiv und ein Homom.

zu 4) bei \(u\) handelt es sich nicht um ein Homom. was du mit dem binomischen Lehrsatz zeigen kannst :).

Gruß

Comments

Viele Dank für die Hilfe

ich denke bei u um Gruppenmonomorphismus aber konnte das nicht zeigen 

kann man das nicht anders zeigen also nich mit dem binomischen Lehrsatz zeigen ??

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Etwas das kein Gruppenhomom. sein kann kann ja auch erst recht kein Gruppenmonom. sein :).

Kann man bestimmt aber wozu? Ist dir klar wieso das kein Gruppenhomom. ist?

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nein mir ist nicht klar wieso kein Gruppenhomom.  ist !b

konnte sein das eine Automorophismus :) ??

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Du solltest dir eventuell mal eine Minute Zeit zum Nachdenken nehmen. Ein Automorphismus muss ein Homomorphismus sein. Wenn ich dir sage dass es kein Homomorphismus ist, dann sollte die Frage, ob es ein Automorphismus wäre gar nicht erst aufkommen....

Wenn 4. ein Gruppenhomom. wäre dann würde das bedeuten, dass für alle \(x,y \in \mathbb{Z} \) und ein \(n\geq 2\) gilt:

$$ (x+y)^n = x^n+y^n $$

und das ist offensichtlich für \(n \geq 2 \) falsch!