Bestimmen Sie ein komplexes Polynom der Form 2z3 + a2z2 + a1z + a0 mit den

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie ein komplexes Polynom der Form 2z³ + a₂z² + a₁z + a₀

mit den Nullstellen z1 = −3, z2 = 2 + 2i und z3 = 2 − 2i.

Answer 1

Aloha :)

Ein komplexes Polynom dritter Ordnung ist durch seine 3 Nullstellen bis auf einen Skalierungsfaktor \(s\) eindeutig bestimmt. Bei den gegebenen Nullstellen heißt das:

$$p_s(z)=s\cdot(\,z+3\,)\cdot(\,z-(2+2i)\,)\cdot(\,z-(2-2i)\,)$$$$\phantom{p_s(z)}=s\cdot(z+3)\cdot(z^2-(2+2i)z-(2-2i)z+(2+2i)(2-2i))$$$$\phantom{p_s(z)}=s\cdot(z+3)\cdot(\,z^2-4z+(4-4i^2)\,)$$$$\phantom{p_s(z)}=s\cdot(z+3)\cdot(\,z^2-4z+8\,)$$$$\phantom{p_s(z)}=s\cdot(\,z^3-4z^2+8z+3z^2-12z+24\,)$$$$\phantom{p_s(z)}=s\cdot(\,z^3-z^2-4z+24\,)$$Die Soll-Vorgabe des Polynoms enthält den Summanden \(2z^3\), woraus der Skalierungsfaktor \(s=2\) folgt. Das gesuchte Polynom lautet also:

$$p_2(s)=2z^3-2z^2-8z+48$$

Answer 2

Hallo

du kannst doch einfach die (z-zI) multiplizieren? zi= Nullstellen.

Gruß lul