Integral von (sinx)^2 falsch?

Question

Aufgabe:

Was ist an der folgenden Integralrechnung falsch:

(1) ∫(sinx)^2 dx
(2)  u=sinx
(3) du)/dx= cosx
(4) dx = du/cos x
(5) ∫u^2  du/cos x
(6) 1/3 u^3 cos x
(7) 1/3 (sinx)^3 cosx

Answer 1

Der Schritt von (5) zu (6) ist falsch. cos x ist magisch vom Nenner in den Zähler gewandert.

Außerdem sollte schon in (5) kein x mehr vorkommen. Die Tatsache, das dort ein x vorkommt, spricht gegen den Ansatz.

Comments

Vielen Dank! G.R.

Answer 2

Aloha :)

Das wird mit Substitution aber schwierig, hier bietet sich partielle Integration an:

$$\int\sin^2x\,dx=\int\underbrace{\sin x}_{=u'}\cdot\underbrace{\sin x}_{=v}\,dx=\underbrace{-\cos x}_{=u}\cdot\underbrace{\sin x}_{=v}-\int\underbrace{(-\cos x)}_{=u}\cdot\underbrace{\cos x}_{=v'}\,dx$$$$\qquad=-\sin x\cos x+\int\cos^2x\,dx=-\sin x\cos x+\int(1-\sin^2x)\,dx$$$$\qquad=-\sin x\cos x+\int1\,dx-\int\sin^2x\,dx=-\sin x\cos x+x-\int\sin^2x\,dx$$

Jetzt noch das verbliebene Integral auf die linke Seite der Gleichgung bringen und halbieren:$$\int\sin^2x\,dx=\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\sin x\,\cos x+\text{const}$$

Comments

Danke, das hat mir eingeleuchtet! G.R.

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Doch noch eine Frage: Warum die Halbierung am Ende? G.R.

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Wir haben nach der partiellen Integration den Zusammenhang:$$\int\sin^2x\,dx=-\sin x\cos x+x-\int\sin^2x\,dx$$Jetzt addieren wir das Integral auf beiden Seiten:$$2\int\sin^2x\,dx=-\sin x\cos x+x$$wodurch links dann 2-mal das Integral steht. Deswegen halbieren wir beide Seiten und finden die Lösung:$$\int\sin^2x\,dx=\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\sin x\cos x$$

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Danke für die geduldige Antwort! Ich hatte Tomaten auf den Augen, hätte es eigentlich sehen müssen... Mit freundlichem Gruß G.R.