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Aufgabe:

Was ist an der folgenden Integralrechnung falsch:

(1) ∫(sinx)2 dx
(2)  u=sinx
(3) du)/dx= cosx
(4) dx = du/cos x
(5) ∫u2  du/cos x
(6) 1/3 u3 cos x
(7) 1/3 (sinx)3 cosx

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Der Schritt von (5) zu (6) ist falsch. cos x ist magisch vom Nenner in den Zähler gewandert.

Außerdem sollte schon in (5) kein x mehr vorkommen. Die Tatsache, das dort ein x vorkommt, spricht gegen den Ansatz.

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Vielen Dank! G.R.

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Aloha :)

Das wird mit Substitution aber schwierig, hier bietet sich partielle Integration an:

sin2xdx=sinx=usinx=vdx=cosx=usinx=v(cosx)=ucosx=vdx\int\sin^2x\,dx=\int\underbrace{\sin x}_{=u'}\cdot\underbrace{\sin x}_{=v}\,dx=\underbrace{-\cos x}_{=u}\cdot\underbrace{\sin x}_{=v}-\int\underbrace{(-\cos x)}_{=u}\cdot\underbrace{\cos x}_{=v'}\,dx=sinxcosx+cos2xdx=sinxcosx+(1sin2x)dx\qquad=-\sin x\cos x+\int\cos^2x\,dx=-\sin x\cos x+\int(1-\sin^2x)\,dx=sinxcosx+1dxsin2xdx=sinxcosx+xsin2xdx\qquad=-\sin x\cos x+\int1\,dx-\int\sin^2x\,dx=-\sin x\cos x+x-\int\sin^2x\,dx

Jetzt noch das verbliebene Integral auf die linke Seite der Gleichgung bringen und halbieren:sin2xdx=x212sinxcosx+const\int\sin^2x\,dx=\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\sin x\,\cos x+\text{const}

Avatar von 152 k 🚀

Danke, das hat mir eingeleuchtet! G.R.

Doch noch eine Frage: Warum die Halbierung am Ende? G.R.

Wir haben nach der partiellen Integration den Zusammenhang:sin2xdx=sinxcosx+xsin2xdx\int\sin^2x\,dx=-\sin x\cos x+x-\int\sin^2x\,dxJetzt addieren wir das Integral auf beiden Seiten:2sin2xdx=sinxcosx+x2\int\sin^2x\,dx=-\sin x\cos x+xwodurch links dann 2-mal das Integral steht. Deswegen halbieren wir beide Seiten und finden die Lösung:sin2xdx=x212sinxcosx\int\sin^2x\,dx=\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\sin x\cos x

Danke für die geduldige Antwort! Ich hatte Tomaten auf den Augen, hätte es eigentlich sehen müssen... Mit freundlichem Gruß G.R.

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