Gauß Algorithmen beim linearen Gleichungssystem

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie in Abhängigkeit von α ∈ ℝ die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems  über dem Körper ℝ:

3 = −x₁+3x₃
2 = −2x₁−αx₂ +x₃

1 = x₁ +2x₂ +αx₃

Problem/Ansatz:

Ich würde das mit Gauß Algorithmen lösen, ist das richtig?

Answer 1

Ja, genau so geht es

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2&a&|&1 \\ -1& 0&3&|&3\\-2&-a&1&|&2 \end{pmatrix} $$$$ \begin{pmatrix} 1 & 2&a&|&1 \\ 0& 2&3+a&|&4\\0&4-a&1+2a&|&4 \end{pmatrix} $$$$ \begin{pmatrix} 1 & 2&a&|&1 \\ 0& 1&1,5+0,5a&|&2\\0&4-a&1+2a&|&4 \end{pmatrix} $$$$ \begin{pmatrix} 1 & 2&a&|&1 \\ 0& 1&1,5+0,5a&|&2\\0&0&0,5a^2+1,5a-5&|&2a-4 \end{pmatrix} $$$$ \begin{pmatrix} 1 & 2&a&|&1 \\ 0& 1&1,5+0,5a&|&2\\0&0&0,5a^2+1,5a-5&|&2a-4 \end{pmatrix} $$$$ \begin{pmatrix} 1 & 2&a&|&1 \\ 0& 1&1,5+0,5a&|&2\\0&0&(a+5)(a-2)&|&4(a-2) \end{pmatrix} $$$$a≠2$$$$ \begin{pmatrix} 1 & 2&a&|&1 \\ 0& 1&1,5+0,5a&|&2\\0&0&(a+5)&|&4 \end{pmatrix} $$$$a≠-5$$$$ \begin{pmatrix} 1 & 2&a&|&1 \\ 0& 1&1,5+0,5a&|&2\\0&0&1&|&4/(a+5) \end{pmatrix} $$$$ \begin{pmatrix} 1 & 2&0&|&(5-3a)/(a+5) \\ 0& 1&0&|&4/(a+5)\\0&0&1&|&4/(a+5) \end{pmatrix} $$$$ \begin{pmatrix} 1 & 0&0&|&-3(a+1)/(a+5) \\ 0& 1&0&|&4/(a+5)\\0&0&1&|&4/(a+5) \end{pmatrix} $$

Falls ich mich nicht verrechnet habe

Answer 2

Ich würde das mit Gauß Algorithmen lösen, ist das richtig?

Ja. Das würde ich auch so machen. Wenn ich mich nicht verrechnet habe kommt man auf:

x1 = - 3·(a + 1)/(a + 5) ∧
x2 = 4/(a + 5) ∧
x3 = 4/(a + 5)