Gleichung der Tangente an den Grafen von f im Punkt A.

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie mithilfe der Ableitungsfunktion f die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt A.

f(x)=4/3^x ; A(2|(2))

Comments

Wo genau ist denn das Problem?

Hast du f schon abgeleitet?

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Irgendwas bekannt über A ?

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Als Ableitung habe ich herausgefunden:-((ln(4)-ln(3))*3^x)/4^x

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Korrektur:

Aufgabe: Bestimmen Sie mithilfe der Ableitungsfunktion f die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt A.

f(x)=(4/3)^x ; A(2|(f2))

Entschuldigung aber die Aufgabe macht mich echt fertig.

Answer 1

Aloha :)

Wir benötigen den Funktionswert \(f(x)\) und die Steigung \(f'(x)\) der Funktion:

$$f(x)=\frac{4}{3^x}=4\cdot3^{-x}=4\cdot e^{\ln(3^{-x})}=4\cdot e^{-x\ln(3)}\implies$$$$f'(x)=4\cdot(-\ln(3))e^{-x\ln(3)}=-4\ln(3)\cdot e^{-x}=-\ln(3)\cdot\frac{4}{3^x}=-\ln(3)\cdot f(x)$$

Speziell im Punkt \(x_0=2\) gilt daher:$$\quad f(x_0)=f(2)=\frac{4}{9}\quad;\quad f'(x_0)=f'(2)=-\frac{4\ln(3)}{9}$$

Damt können wir die Gleichung der gesuchten Tangente hinschreiben:

$$t(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)=f(2)+f'(2)\cdot(x-2)=\frac{4}{9}-\frac{4\ln(3)}{9}\cdot(x-2)$$$$t(x)=-\frac{4\ln(3)}{9}\cdot x+\frac{4+8\ln(3)}{9}\;\;\approx-0,4883\cdot x+1,4210$$

~plot~ 4/3^x ; -0,4883*x+1,4310 ; {2|4/9} ; [[0|5|-1|4]] ~plot~