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Willkommen in der Mathelounge...
Hier geht es darum, die Integrale vor dem Ausrechen geschickt zusammenzufassen:
$$I_a=\int\limits_{-2}^4-4x^3dx+3\cdot\int\limits_{-2}^12x^3dx+4\int\limits_1^4x^3dx+2\int\limits_1^{-2}x^3dx$$Beim letzten Integral vertauschen wir die obere und die untere Grenze, als Preis dafür wechselt das Integral sein Vorzeichen. Zusätzlich ziehen wir den Faktor \(2\) unter das Integral:
$$I_a=\int\limits_{-2}^4-4x^3dx+3\cdot\int\limits_{-2}^12x^3dx+4\int\limits_1^4x^3dx-\int\limits_{-2}^12x^3dx$$
Jetzt fassen wir das zweite und das vierte Integral zusammen:
$$I_a=\int\limits_{-2}^4-4x^3dx+2\cdot\int\limits_{-2}^12x^3dx+4\int\limits_1^4x^3dx$$
Jetzt ziehen wir beim ersten Integral den Faktor \((-4)\) vor das Integral und beim zweiten Integral den Faktor 2 unter dem Integral vor das Integral:
$$I_a=-4\int\limits_{-2}^4x^3dx+4\cdot\int\limits_{-2}^1x^3dx+4\int\limits_1^4x^3dx$$
Nun wird die \(4\) ausgeklammert:
$$I_a=4\left(-\int\limits_{-2}^4x^3dx+\int\limits_{-2}^1x^3dx+\int\limits_1^4x^3dx\right)$$
Das zweite und dritte Integral kann man zu einem Integral zusammenfassen. Der Integrand ist derselbe und die Integrationsgrenzen \([-2;1]\) und \([1;4]\) schließen nahtlos aneinander an:
$$I_a=4\left(-\int\limits_{-2}^4x^3dx+\int\limits_{-2}^4x^3dx\right)=0$$
Die Klammer ist offensichtlich gleich \(0\), sodass das Integral zu \(0\) wird.
Den Teil (b) führe ich dir ohne Kommentare vor. Das solltest du nun verstehen können...
$$I_b=\int\limits_2^36x^3dx+3\int\limits_{-2}^2(2x^3-1)dx-\int\limits_2^33dx$$$$I_b=\int\limits_2^36x^3dx+\int\limits_{-2}^2(6x^3-3)dx-\int\limits_2^33dx$$$$I_b=\int\limits_2^36x^3dx+\int\limits_{-2}^2 6x^3dx-\int\limits_{-2}^2 3dx-\int\limits_2^33dx$$$$I_b=\left(\int\limits_2^36x^3dx+\int\limits_{-2}^2 6x^3dx\right)-\left(\int\limits_{-2}^2 3dx+\int\limits_2^33dx\right)$$$$I_b=\int\limits_{-2}^36x^3dx-\int\limits_{-2}^3 3dx$$$$I_b=\int\limits_{-2}^3(6x^3-3)dx=\left[\frac{6}{4}x^4-3x\right]_{-2}^3=\frac{165}{2}$$
