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wir haben nun schon seit einer gewissen Zeit das Thema der Integralrechnung in Mathe. Nun haben wir eine Aufgabe zu den Integralrechenregeln bekommen, welche ich einfach nicht verstehe. Könnte mit vielleicht jemand dabei helfen oder mir die Lösung mitteilen? Ich danke schon im Voraus.

Hier ist die Aufgabe:

a) $$ \int \limits_{-2}^{4}-4x^3dx +3*\int \limits_{-2}^{1}2x^3dx +4*\int \limits_{1}^{4}x^3dx+2\int \limits_{1}^{-2}x^3dx $$

b) $$ \int \limits_{2}^{3}6x^3dx+3*\int \limits_{-2}^{2}(2x^3-1)dx-\int \limits_{2}^{3}3dx $$

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge...

Hier geht es darum, die Integrale vor dem Ausrechen geschickt zusammenzufassen:

$$I_a=\int\limits_{-2}^4-4x^3dx+3\cdot\int\limits_{-2}^12x^3dx+4\int\limits_1^4x^3dx+2\int\limits_1^{-2}x^3dx$$Beim letzten Integral vertauschen wir die obere und die untere Grenze, als Preis dafür wechselt das Integral sein Vorzeichen. Zusätzlich ziehen wir den Faktor \(2\) unter das Integral:

$$I_a=\int\limits_{-2}^4-4x^3dx+3\cdot\int\limits_{-2}^12x^3dx+4\int\limits_1^4x^3dx-\int\limits_{-2}^12x^3dx$$

Jetzt fassen wir das zweite und das vierte Integral zusammen:

$$I_a=\int\limits_{-2}^4-4x^3dx+2\cdot\int\limits_{-2}^12x^3dx+4\int\limits_1^4x^3dx$$

Jetzt ziehen wir beim ersten Integral den Faktor \((-4)\) vor das Integral und beim zweiten Integral den Faktor 2 unter dem Integral vor das Integral:

$$I_a=-4\int\limits_{-2}^4x^3dx+4\cdot\int\limits_{-2}^1x^3dx+4\int\limits_1^4x^3dx$$

Nun wird die \(4\) ausgeklammert:

$$I_a=4\left(-\int\limits_{-2}^4x^3dx+\int\limits_{-2}^1x^3dx+\int\limits_1^4x^3dx\right)$$

Das zweite und dritte Integral kann man zu einem Integral zusammenfassen. Der Integrand ist derselbe und die Integrationsgrenzen \([-2;1]\) und \([1;4]\) schließen nahtlos aneinander an:

$$I_a=4\left(-\int\limits_{-2}^4x^3dx+\int\limits_{-2}^4x^3dx\right)=0$$

Die Klammer ist offensichtlich gleich \(0\), sodass das Integral zu \(0\) wird.

Den Teil (b) führe ich dir ohne Kommentare vor. Das solltest du nun verstehen können...

$$I_b=\int\limits_2^36x^3dx+3\int\limits_{-2}^2(2x^3-1)dx-\int\limits_2^33dx$$$$I_b=\int\limits_2^36x^3dx+\int\limits_{-2}^2(6x^3-3)dx-\int\limits_2^33dx$$$$I_b=\int\limits_2^36x^3dx+\int\limits_{-2}^2 6x^3dx-\int\limits_{-2}^2 3dx-\int\limits_2^33dx$$$$I_b=\left(\int\limits_2^36x^3dx+\int\limits_{-2}^2 6x^3dx\right)-\left(\int\limits_{-2}^2 3dx+\int\limits_2^33dx\right)$$$$I_b=\int\limits_{-2}^36x^3dx-\int\limits_{-2}^3 3dx$$$$I_b=\int\limits_{-2}^3(6x^3-3)dx=\left[\frac{6}{4}x^4-3x\right]_{-2}^3=\frac{165}{2}$$

Avatar von 152 k 🚀

Es wäre lieb von dir, wenn du noch zeigen könntest wie die zweite Aufgabe zu lösen ist

Danke für die tolle Hilfe

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