Integralrechnung. Mehrere Flächen?

Question

 

Hallo erstmal.. Ich hätte eine kleine Hilfe zu dieser Aufgabe . 

Die Aufgabenstellung heißt : Bestimmen sie die den Inhalt der gefärbten Flächen. 

Und meine Frage wäre:  Da dieser Graph sich oberhalb und unterhalb der x-achse befindet müsste ich diese Fläche in Teilintervalle teilen. ( nach meiner Lehrerin!) Jedoch weiß ich nicht wie ich den Teil unterhalb der x-achse ausrechnen könnte ? Denn dieser ist viel größer als der Teil über der x-Achse, aber sie haben beide die selben intervalle. Müsste ich trotzdem den selben intervall anwenden? oder wie?

 

Comments

unknown hat dir ja schon die einfachste Möglichkeit vorgestellt.

Wenn du aber die Fläche wirklich in 2 Teile zerlegen willst geht das auch.

1. Teil ist dir Klar:  $$\int_0^1( -x^2+1)dx=2/3$$
2. Teil: Stelle dir den Teil als Rechteck vor -3<=y<=0 0<=x<=2 Fläche ist 3*2=6
Davon muss der Teil abgezogen der gerade nicht zur Fläche 2 gehört.

Und das entspricht genau dem Integral $$\int_1^2 (-x^2+1)dx=-4/3$$

Da die Fläche unter der x Achse liegt muss der Betrag genommen werden.

F(2)=6-4/3=18/3-4/3=14/3

F(1)+F(2)=16/3

Answer 1

Hi,

der sinnvollste und einfachste Weg ist wohl über die Verschiebung:

Verschiebe die Funktion um 3 Einheiten nach oben:

g(x) = -x^2+1+3 = -x^2+4

Bestimme die Nullstellen:

x^2 = 4

x = ±2

 

Integriere also von 0-2 um den orangenen Flächeninhalt zu berechnen:

∫₀² -x^2+4 dx = [-1/3x^3+4x]₀² = -8/3 + 8 = 16/3

 

Der Flächeninhalt ist 16/3.

 

Grüße