gemeint ist die ( mit ε formulierte) Grenzwertdefinition:
Du musst also zeigen:
Zu jedem reellen ε>0 gibt es ein N∈ℕ , so dass für alle n>N gilt |an-0| <ε
Das kann man so machen: Sei ε>0.
| (3n^2−2n)/(4n^3+1)| kürzen mit n^3
= | (3/n−2/n^2)/(4+1/n^3)|
= 1/n * | (3−2/n)/(4+1/n^3)|
Betrag fällt weg, da ja n∈ℕ, also auch 3-2/n nicht negativ sein kann.
= 1/n * (3−2/n)/(4+1/n^3)
Mit der Form des Terms kann man so argumentieren:
Der Zähler des 2. Bruches ist immer kleiner als 3, also gilt
für den ganzen Term
< 1/n * 3/(4+1/n^3)
Der Nenner des 2. Bruches ist immer größer als 4, also gilt
für den ganzen Term
< 1/n * 3/4
Bleibt also zu zeigen: Es gibt ein N mit
n>N ==> 1/n * 3/4 < ε
<=> 1/n < 4ε / 3
<=> n > 3 / (4ε)
Und nach dem Axiom des Archimedes gibt es zu
jeder reellen Zahl ( also auch zu 3 / (4ε) ) ein N,
das größer ist ( und alle n>N dann nat. auch.)
Dieses N ist das in der Definition postulierte. q.e.d.
