Konvergenz Reihe Majorantenkriterium

Question

Aufgabe:

Ich muss für eine Reihe zeigen, dass sie konvergiert. Es handelt sich um eine Randwertuntersuchung des Konvergenzbereiches einer Potenzreihe.

$$\sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k^2+1}$$

Dafür wollte ich das Majorantenkriterium benutzen.

Mit der konvergenten Majorante: $$\sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}$$

Problem/Ansatz:

Jetzt habe ich mich gefragt, ob ich diese einfach so anwenden kann, obwohl beide Reihen mit unterschiedlichen Indizes beginnen? Ich könnte ja nur zeigen, dass die Majorante für alle k $$\in$$ natürlichen Zahlen ohne null größer wäre.

Danke für die Hilfe.

Comments

Ich kann meine Frage wohl selber beantworten. Und zwar ist mir wieder eingefallen, dass das Majorantenkriterium ja so erklärt ist, dass man nur eine konvergente Majorante finden muss, die AB einem gewissen Index immer größer sein muss.

Answer 1

Aloha :)

Ich würde den ersten Summanden für \(k=0\) einfach aus der Summe rausziehen:$$\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1}{k^2+1}=\frac{1}{0^2+1}+\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2+1}=1+\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2+1}<1+\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}=1+\frac{\pi^2}{6}$$